DOMINIO DI UNA FUNZIONE ESPONENZIALE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Una FUNZIONE si dice ESPONENZIALE quando la variabile x compare come esponente di una potenza.



La forma tipica di una FUNZIONE ESPONENZIALE è la seguente:

y = ax

che si legge

y è uguale ad a elevato ad x.



In questo caso la BASE della potenza è una COSTANTE (nel nostro esempio la a) e l'esponente è la variabile x. Per questa ragione la funzione viene detta FUNZIONE ESPONENZIALE A BASE COSTANTE.

La nostra costante a deve essere positiva. Ovvero:

a > 0.



Infatti, con la base negativa non avremmo sempre risultati reali.

Se, a dovesse essere uguale ad 1 la funzione sarebbe una costante, cioè y = 1 poiché 1 elevato a qualsiasi valore dà come risultato sempre 1. Quindi il grafico della funzione sarebbe una retta.

In una funzione di questo tipo il CAMPO DI ESISTENZA è dato da qualsiasi x appartenente ai reali.

Quindi possiamo scrivere:

Campo di esistenza uguale a qualunque x appartenente ai reali

che si legge

campo di esistenza uguale a qualunque x appartenente ai reali.



Esempio:

y = 7x.



La funzione è esponenziale dato che la x compare come esponente di una potenza.

Quindi il campo di esistenza è dato dall'insieme di tutti i numeri reali. Possiamo scrivere:

Campo di esistenza di una funzione esponenziale

che si legge

campo di esistenza uguale all'intervallo aperto da meno infinito a più infinito.



Tuttavia la FUNZIONE ESPONENZIALE si può presentare anche nella forma seguente:

y = aP(x)

che si legge

y è uguale ad a elevato a P con x.



Anche in questo caso la BASE della potenza è una COSTANTE (nel nostro esempio la a) e di conseguenza si parla sempre di FUNZIONE ESPONENZIALE A BASE COSTANTE.

Anche in questo caso la base a deve essere maggiore di zero.

Tuttavia in questo caso il CAMPO DI ESISTENZA della funzione sarà uguale al CAMPO DI ESISTENZA di P(x).



Esempio 1:

y = 74x+3.



La funzione è esponenziale dato che la x compare come esponente di una potenza.

Il campo di esistenza della funzione è uguale al campo di esistenza di

4x + 3.

Il campo di esistenza di 4x + 3 è dato da tutti i numeri reali. Di conseguenza il campo di esistenza della nostra funzione è dato dall'insieme dei numeri reali.



Esempio 2:

y = 7(4x+3)/x.

La funzione è esponenziale dato che la x compare come esponente di una potenza.

Il campo di esistenza della funzione è uguale al campo di esistenza dell'esponente, ovvero di

4x + 3/x.

Il campo di esistenza di (4x + 3)/x è dato da tutti i numeri reali diversi da zero, dato che nel caso in cui x è uguale a zero il denominatore si annulla.

Di conseguenza il campo di esistenza della nostra funzione è dato dall'insieme dei numeri reali escluso lo zero. Ovvero:

Campo di esistenza di una funzione esponenziale

che si legge

campo di esistenza uguale a qualunque x appartenente ai reali tale che x è diverso da zero.



Infine la FUNZIONE ESPONENZIALE si può presentare anche nella forma seguente:

y = [P(x)]P'(x)

che si legge

y è uguale a P con x elevato a P' con x.



In questo caso, a differenza dei precedenti, la BASE della potenza NON E' una COSTANTE: nel nostro esempio essa è P(x). Per questa ragione la funzione viene detta FUNZIONE ESPONENZIALE A BASE VARIABILE.

In questo caso il CAMPO DI ESISTENZA della funzione è dato dai valori di x che rendono positivo P(x) in quanto abbiamo detto che, nel caso in cui la base fosse negativa, potremmo anche non avere risultati reali. Ovvero il CAMPO DI ESISTENZA sarà uguale a:

campo di esistenza di una funzione esponenziale a base variabile

che si legge

campo di esistenza uguale a qualunque x appartenente ad R tale che P con x è maggiore di zero.



Inoltre, come nel caso precedente, dobbiamo tenere conto anche dell'eventuale campo di esistenza di P'(x).



Esempio 3:

y = (x+2)x+3.



La funzione è esponenziale dato che la x compare come esponente di una potenza. Il campo di esistenza della funzione è dato dai valori di x che rendono maggiore di zero la base. Cioè:

x+2 > 0

x > -2.

Poiché l'esponente (x+3) ha come campo di esistenza tutti i numeri reali, la nostra funzione ha come campo di esistenza i valori maggiori di -2. Cioè:

campo di esistenza di una funzione esponenziale a base variabile

che si legge

campo di esistenza uguale a qualunque x appartenente ad R tale che x è maggiore di meno 2.

 
 
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