DISEQUAZIONI IRRAZIONALI CON UN POLINOMIO A SECONDO MEMBRO E SEGNO DI MAGGIORE (>)

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Continuiamo ad esaminare i metodi di risoluzione delle DISEQUAZIONI IRRAZIONALI, e vediamo come si risolvono disequazioni del tipo:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro

dove



A(x) e B(x) sono entrambi dei polinomi.

Come sempre dobbiamo distinguere il caso in cui n è dispari da quello in cui n è pari.

Cominciamo a vedere come procedere quando

n è DISPARI.



Come abbiamo detto più volte, quando n è dispari, è sempre possibile estrarre la radice a prescindere dal segno del RADICANDO. Nel momento in cui estraiamo la radice, a primo membro otteniamo un valore dello stesso segno del radicando, quindi un valore che potrà essere positivo, negativo o nullo.

Di conseguenza non ci sono particolari condizioni da porre e la disequazione si risolve semplicemente ELEVANDO i due membri alla ennesima potenza. In altre parole



Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro

che equivale a risolvere:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



Esempio:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



Osserviamo che n è dispari (n = 3) e quindi possiamo procedere a risolvere elevando primo e secondo membro alla terza:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



Applichiamo le regole relative al cubo di un binomio e risolviamo:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



Ora confrontiamo il segno del primo coefficiente della disequazione ridotta a forma normale (+6) con il segno della disequazione (<). I due segni sono discordi e per la regola del DICE (Discordi Interni Concordi Esterni) i risultati cercati sono sono quelli interni alle radici trovate. Quindi:

-3 < x < -3/2.



Passiamo ad esaminare il caso in cui

n è PARI.

Come abbiamo detto nelle lezioni precedenti, innanzitutto è necessario che il RADICANDO sia POSITIVO o UGUALE A ZERO altrimenti non sarebbe possibile estrarre la sua radice. Quindi sarà necessario che:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



Estraendo la radice a primo membro avremo sempre un valore positivo o nullo.

Ora, si potrebbero verificare due situazioni diverse:

  • B(x)<0.

    In questo caso A(x) essendo sicuramente positivo sarà anche maggiore di B(x).

    Quindi i valori di x che rendono positivo A(x) e negativo B(x) sono sicuramente delle soluzioni della nostra disequazione. Questo significa risolvere il seguente sistema:

    Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro

  • B(x)≥0.

    In questo caso A(x) è positivo e B(x) anche. Quindi bisogna elevare entrambi i membri all'ennesima potenza e cercare i valori di x che rendono positivo A(x), che rendono positivo B(x) e che soddisfano anche la nostra disequazione di partenza. Questo significa risolvere il seguente sistema:

    Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



    Ma osserviamo che, se

    B(x) è positivo

    e

    A(x) è essere maggiore di [B(x)]n

    sicuramente anche

    A(x) sarà positivo.

    Di conseguenza, nel nostro sistema la prima disequazione è superflua e si può omettere in modo da risolvere il seguente sistema:

    Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro


Ovviamente, le soluzioni che andremo a trovare con entrambi i sistemi saranno soluzioni della nostra disequazione di partenza.

Quindi, possiamo dire che, quando n è pari, le soluzioni della disequazione sono le soluzioni di entrambi i sistemi:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



Più opportunamente possiamo scrivere:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro

dove il simbolo

Simbolo di unione

è il simbolo di unione usato negli insiemi.



Questo significa, in altre parole, che saranno soluzioni della nostra disequazione, quei valori che sono soluzioni del primo sistema o del secondo sistema.

Esempio:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro

Dato che n è pari (n = 2) le soluzioni della disequazione sono dati dalla soluzione dei seguenti due sistemi:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



Iniziamo a risolvere il primo sistema:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro

Il primo sistema avrà le seguenti soluzioni:

-2 ≤ x ≤ -1/2.



Passiamo al secondo sistema:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



Risolviamo la seconda disequazione di questo sistema:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



Il delta è positivo. Quindi per risolvere questo tipo di disequazione applichiamo la regola del DICE (Discordi Interni Concordi Esterni). Il segno del primo coefficiente a è positivo (+4) e il segno della disequazione è <. Essendo i due segni discordi la disequazione è verificata per i valori delle x interni alle due soluzioni trovate. In altre parole la soluzione è:

-1 ≤ x ≤ 1/4.



Andiamo, allora a risolvere questo secondo sistema:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro

Quindi la soluzione del secondo sistema è

-1/2 ≤ x < 1/4.



A questo punto possiamo dire che la soluzione della disequazione di partenza è

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



Ma ovviamente, in questo esempio, la soluzione da noi trovata può essere scritta più semplicemente come:

-2 ≤ x < 1/4.



Anche negli esempi esaminati in questa lezione, se anziché avere il segno > ci fosse stato il segno le regole esposte non sarebbero cambiate.

 
 
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