DISEQUAZIONI IRRAZIONALI CON UN POLINOMIO A SECONDO MEMBRO E SEGNO MINORE (<)

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Dopo aver visto, nelle precedenti lezioni, come si risolvono le DISEQUAZIONI IRRAZIONALI, nelle quali compaiono ad un membro un POLINOMIO e all'altro una COSTANTE, ora ci occuperemo delle disequazioni irrazionali nelle quali compaiono:

  • un polinomio A(x) a primo membro, sotto il segno di radice;
  • ed un polinomio B(x) a secondo membro.

In pratica si tratterà di risolvere disequazioni del tipo:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



In questa lezione andremo ad esaminare il primo caso

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro

mentre rimandiamo l'esame del secondo caso alla prossima lezione.



Partiamo dall'ipotesi in cui

n è DISPARI.

Quando n è dispari, è possibile estrarre la radice a prescindere dal segno del RADICANDO.

Estraendo la radice si ottiene un valore dello stesso segno del radicando, quindi un valore che potrà essere sia positivo che negativo, ed eventualmente anche nullo.

Quindi, per risolvere questo tipo di disequazioni è sufficiente ELEVARE entrambi i membri all'ennesima potenza. In altre parole la disequazione si risolve ponendo

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro

che equivale a risolvere:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



Esempio:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



Poiché n è dispari (n = 3), eleviamo primo e secondo membro alla terza:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



A secondo membro risolviamo applicando le regole relative al cubo di un binomio:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



Ora portiamo tutte le incognite a primo membro cambiando di segno, e semplifichiamo tutto quanto è possibile:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



Moltiplichiamo primo e secondo membro della disequazione per -1 in modo da rendere l'incognita positiva e, al tempo stesso, cambiamo il verso della disequazione. Quindi risolviamo:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



Passiamo ad esaminare il caso in cui

n è PARI.

Innanzitutto è necessario che il RADICANDO sia POSITIVO o UGUALE A ZERO affinché sia possibile estrarre la sua radice. Quindi sarà necessario che:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



In secondo luogo è necessario che il polinomio a secondo membro B(x) sia positivo. Perché questo? Estraendo la radice ennesima, con n pari, di un valore positivo, avremo un valore anch'esso positivo. Un valore positivo non potrà mai essere minore di uno negativo, quindi il secondo membro dovrà essere maggiore di zero.

Anche nel caso in cui a primo membro avessimo un valore uguale a zero, affinché esso sia minore del secondo membro, quest'ultimo dovrà essere anch'esso positivo.

Quindi dobbiamo porre la condizione che:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



A questo punto possiamo andare ad elevare alla potenza ennesima entrambi i membri della disequazione.

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



Quindi noi dovremo andare a cercare le soluzioni che soddisfano tutte e tre le condizioni poste, il che equivale a risolvere un sistema con le tre disequazioni che abbiamo appena viste:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



Esempio:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



In questo caso n è pari (n = 2) quindi per risolvere la disequazione dobbiamo impostare il seguente sistema:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro

E risolviamo:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



Risolviamo l'ultima disequazione:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro

Poiché il delta è negativo dobbiamo andare a vedere il segno del primo coefficiente a (che nel nostro caso è 2) e confrontarlo con il verso della disequazione (che nel nostro caso è >). Essendo i due segni concordi la disequazione è vera per qualunque x appartenente ai reali.

Andiamo, allora, a cercare graficamente le soluzioni del sistema:

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



La soluzione della disequazione data, quindi, è

Disequazioni irrazionali con polinomio a secondo membro



Anche negli esempi esaminati in questa lezione, se anziché avere il segno < avessimo il segno le regole esposte non cambierebbero.

 
 
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