DISEQUAZIONI IRRAZIONALI CON UNA COSTANTE A SECONDO MEMBRO E SEGNO DI MAGGIORE (>)

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Continuiamo a vedere come si risolvono le DISEQUAZIONI IRRAZIONALI, nelle quali compaiono ad un membro un POLINOMIO, sotto il segno di radice, e all'altro una COSTANTE.



In questa lezione esamineremo il seguente caso:

Disequazioni irrazionali



dove, lo ricordiamo,

A(x) è un polinomio

k è una costante.

Anche in questo caso potremo avere due ipotesi diverse, a seconda del valore assunto dall'INDICE DELLA RADICE:

  • n è DISPARI;
  • n è PARI.

Partiamo dal caso in cui

n è DISPARI.

Se n è dispari, è sempre possibile estrarre la radice sia nell'ipotesi in cui il RADICANDO sia POSITIVO che in quella in cui esso è NEGATIVO, come pure quando il radicando è UGUALE A ZERO. Inoltre il valore ottenuto estraendo la radice avrà lo stesso segno del radicando.

Quindi, in questo caso, la disequazione viene risolta semplicemente ELEVANDO entrambi i suoi membri ad n, ovvero avremo:

Disequazioni irrazionali con costante

che equivale a scrivere:

Disequazioni irrazionali con costante

Esempio:

Disequazioni irrazionali con costante



Notiamo che n è dispari (n = 3), quindi andiamo a risolvere la disequazione elevando entrambi i suoi membri alla terza:

Disequazioni irrazionali con costante



Vediamo cosa accade, invece, se

n è PARI.

Come abbiamo già avuto modo di dire anche nella precedente lezione è necessario che il RADICANDO sia POSITIVO o UGUALE A ZERO affinché sia possibile estrarre la sua radice. Quindi sarà necessario che:

Disequazioni irrazionali con costante



A questo punto dovremmo andare ad elevare entrambi i membri all'ennesima potenza:



Disequazioni irrazionali con costante

che equivale a risolvere la disequazione:

Disequazioni irrazionali con costante



Infine dovremmo andare a trovare le soluzioni che soddisfano entrambe le disequazioni.



Osserviamo però che, se

  • se k < 0, affinché la disequazione

    Disequazioni irrazionali con costante

    sia verificata è sufficiente porre la condizione

    Disequazioni irrazionali con costante

    poiché un valore positivo è sempre maggiore di uno negativo. Quindi, per risolvere questo tipo di disequazione è sufficiente risolvere

    Disequazioni irrazionali con costante

  • se k > 0, osserviamo che, nel momento in cui

    Disequazioni irrazionali con costante

    poiché

    k > 0

    sarà anche vero che A(x)è maggiore di zero, o uguale ad esso. Quindi, per risolvere questo tipo di disequazione è sufficiente risolvere la disequazione:

    Disequazioni irrazionali con costante


Esempio 1:

Disequazioni irrazionali con costante

In questo caso n è pari (n = 2) e k è negativo (k = -2). Quindi andiamo a porre solamente la condizione che il radicando sia maggiore o uguale a zero. Ovvero:

Disequazioni irrazionali con costante



Esempio 2:

Disequazioni irrazionali con costante

In questo caso n è pari (n = 2) e k è positivo (k = 3), quindi è sufficiente elevare al quadrato entrambi i membri della disequazione:

Disequazioni irrazionali con costante



Anche in questo caso andiamo a vedere cosa accade se invece del segno > avessimo il segno ?

Come abbiamo detto nella lezione precedente sarà sufficiente sostituire al simbolo > quello di .

Esempio:

Disequazioni irrazionali con costante

In questo caso compare il simbolo . Trattandosi di una disequazione con n pari (n = 2) e k positivo ((k = 2) sarà sufficiente elevare entrambi i membri al quadrato:

Disequazioni irrazionali con costante



 
 
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