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SCOMPOSIZIONE di un POLINOMIO mediante la REGOLA di RUFFINI

 

Per comprendere  

 

Non sempre è possibile scomporre un polinomio ricorrendo ad uno dei metodi visti in precedenza (raccoglimento a fattore comune, raccoglimento a fattore comune parziale, scomposizione mediante prodotti notevoli, somma o differenza di due cubi, scomposizione di un trinomio di secondo grado).

 

Un'ulteriore possibilità di scomposizione di un polinomio ci viene dall'applicazione della REGOLA di RUFFINI.

 

Affinché tale procedimento sia applicabile è necessario che ci troviamo di fronte ad un POLINOMIO  ORDINATO secondo le POTENZE DECRESCENTI di x che chiameremo

P(x).

Ricordiamo che si legge P con x.

 

 

In una precedente lezione abbiamo appreso la REGOLA del RESTO che afferma che il RESTO della DIVISIONE di un POLINOMIO INTERO in x, P(x), per il BINOMIO (x - a) è il valore che assume il polinomio stesso quando SOSTITUIAMO alla lettera x il numero a.

 

Sappiamo anche che condizione necessaria e sufficiente affinché un POLINOMIO INTERO in x, P(x) sia divisibile per il binomio (x-a) è che il POLINOMIO si ANNULLI quando ad x si SOSTITUISCE a.

Se esistono dei valori che sostituiti alla variabile x, ANNULLANO il polinomio, essi prendono il nome di ZERI del POLINOMIO.

 

Se un polinomio ammette degli ZERI essi sono da cercare tra i RAPPORTI di:

  • ogni DIVISORE del TERMINE NOTO preso sia con segno positivo che negativo;

  • e ogni DIVISORE del PRIMO COEFFICIENTE preso sempre positivo o sempre negativo

 

 

Vediamo un esempio. Vogliamo scomporre in fattori il seguente polinomio mediante la Regola di Ruffini:

3x3 +2x2 -3x -2.

 

In primo luogo verifichiamo che il polinomio sia ordinato secondo le potenze decrescenti di x: nel nostro caso ciò già si verifica. In caso contrario esso dovrebbe essere ordinato.

 

Vediamo, ora, se il polinomio ammette degli zeri. 

Cerchiamo i possibili zeri. Essi sono:

Termine noto -2 Divisori del termine noto (con segno + e -) +1; -1; +2; -2.
Primo coefficiente +3 Divisori del I coefficiente (con segno +) +1; +3.
  Rapporti tra divisori del termine noto e divisori del I coefficiente:

+1/+1 = 1;

+1/+3 = 1/3;

-1/+1 = -1;

-1/+3 = -1/3;

+2/+1 = 2;

+2/+3 = 2/3;

--2/+1 = -2;

-2/+3 = -2/3.

 

Quelli che abbiamo trovato (1; 1/3; -1; -1/3; 2; 2/3; -2; -2/3) sono i possibili zero del nostro polinomio. Questo significa che non è detto che essi siano effettivamente gli zeri del polinomio.

Per sapere se qualcuno di essi è veramente uno zero del nostro polinomio non ci resta che VERIFICARE se qualcuno di loro annulla il nostro polinomio.

 

Iniziamo:

P(x) =3x3 +2x2 -3x -2.

P(1) = 3(1) +5(1) -3(1) -2 = 3 +2 -3 -2 = 0.  

 

Abbiamo trovato subito uno ZERO DEL POLINOMIO: esso è 1.

Questo significa che il nostro polinomio è DIVISIBILE per x - 1.

 

Eseguiamo la DIVISIONE con la REGOLA di RUFFINI

 

Scomposizione con la Regola di Ruffini

 

Quindi, il nostro polinomio sarà uguale a:

3x3 +2x2 -3x -2 = (x-1) (3x2 +5x +2).

 

Cerchiamo, ora di scomporre, seguendo lo stesso metodo, il polinomio 

(3x2 +5x +2).

 

Cerchiamo i possibili zeri. Essi sono:

Termine noto +2 Divisori del termine noto (con segno + e -) +1; -1; +2; -2.
Primo coefficiente +3 Divisori del I coefficiente (con segno +) +1; +3.
  Rapporti tra divisori del termine noto e divisori del I coefficiente:

+1/+1 = 1;

+1/+3 = 1/3;

-1/+1 = -1;

-1/+3 = -1/3;

+2/+1 = 2;

+2/+3 = 2/3;

-2/+1 = -2;

-2/+3 = -2/3.

 

Vediamo quali, di questi valori, annulla il polinomio:

P(x) =3x2 +5x +2.

P(1) =3(1) +5(1) +2 = 3 +5 +2 = 10

P(-1) =3(1) +5(-1) +2 = 3 -5 +2 = 0.

 

Questo significa che il nostro polinomio è DIVISIBILE per x + 1.

 

Eseguiamo la DIVISIONE con la REGOLA di RUFFINI

 

Scomposizione con la Regola di Ruffini

 

Quindi, il nostro polinomio di partenza sarà uguale a:

3x3 +2x2 -3x -2 = (x-1) (3x2 +5x +2) =

= (x-1) (x+1) (3x+2).

 

 

 

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