LezioniDiMatematica.net

 
 
 
  Torna alla Home page del sitoIscriviti alla nostra newsletter per essere informato sugli aggiornamenti del sitoContattaci       
     
   
     
     

 

DIVISIBILITA' di un POLINOMIO P(x) per il BINOMIO (x-a)

 

Per comprendere  

 

In un precedente approfondimento abbiamo visto che quando i TERMINI di un polinomio sono tutte POTENZE della lettera x, essa si dice VARIABILE e il polinomio viene detto FUNZIONE della VARIABILE x.

Il nostro polinomio può essere indicato anche con 

P(x).

Ora noi vogliamo DIVIDERE il polinomio 

P(x) 

per il binomio 

(x - a)

dove 

a è un NUMERO RELATIVO qualunque.

 

Quindi, anziché:

 A = B per Q più R

vista in precedenza, possiamo scrivere

P(x) = (x-a) Q(x) +R

che si legge:

P con x è uguale a x-a che moltiplica Q con x più R.

 

Il secondo membro di questa eguaglianza non è nient'altro che una trasformazione del primo. Questo significa che essa vale per qualsiasi valore di x.

 

Immaginiamo ora di sostituire alla lettera x il valore a. Avremo:

P(a) = (a - a) Q(a) + R.

 

Ovviamente 

(a - a) = 0

e quindi:

(a - a) Q(a) = 0.

Pertanto se sostituiamo alla x il valore a, avremo:

P(a) = 0 + R = R.

Quindi:

P(a) = R.

 

Pertanto possiamo dire che il RESTO della DIVISIONE di un POLINOMIO INTERO in x, P(x), per il BINOMIO (x - a) è il valore che assume il polinomio stesso quando SOSTITUIAMO alla lettera x il numero a.

Quella che abbiamo appena enunciato prende anche il nome di REGOLA del RESTO.

 

Esempio:

vogliamo conoscere il resto della seguente divisione, senza eseguire la stessa

(x2+3x+2) : (x - 1).

Sostituiamo nel dividendo alla x il valore 1 e avremo:

P(1) =12+3·1+2 = 6.

 

Provate ad eseguire la divisione indicata e vedrete che il resto è proprio 6.

 

Notiamo anche che, se P(x) è divisibile per (x-a), il RESTO della divisione sarà ZERO. Cioè 

R = 0.

Quindi, poiché

 

P(a) = R

avremo che

P(a) = 0.

 

Viceversa se 

P(a) = 0

avremo senz'altro che

R = 0.

 

Di conseguenza P(x) è divisibile per (x-a).

 

Possiamo allora affermare che condizione necessaria e sufficiente affinché un POLINOMIO INTERO in x, P(x) sia divisibile per il binomio (x-a) è che il POLINOMIO si ANNULLI quando ad x si SOSTITUISCE a.

 

Esempio:

 (2x2 -6x +4) : (x-2).

Senza eseguire la divisione vogliamo sapere se i due polinomi sono divisibili tra loro.

Poniamo:

 P(2) = 2·22 -6·2 +4 = 8 - 12 + 4 = 0.

 

I due polinomi sono divisibili tra loro.

 

Vediamo un altro esempio:

 (5x2 -7x -1) : (x-3).

Poniamo:

 P(3) = 5·32 -7·3 -1 = 45 - 21 -1 = 23.

 

I due polinomi non sono divisibili tra loro. Il resto della divisione è 23.

 

Nella prossima lezione vedremo cosa accade quando il divisore è del tipo x + a.

 

Lezione precedente - Lezione successiva

Indice argomenti sui polinomi

 

Per comprendere

Tutte le altre lezioni sui polinomi

 

Per approfondire

 

 

Lezioni, Esercitazioni e Approfondimenti di matematica e geometria

MATEMATICA:

GEOMETRIA:

GEOMETRIA ANALITICA:

 

 

www.SchedeDiGeografia.net
 
wwwStoriaFacile.net
 
www.EconomiAziendale.net
 
www.DirittoEconomia.net
 
www.LeMieScienze
 
www.MarchegianiOnLine.net
 
Il significato dei principali simboli usati in matematica e geometria

 

I nostri ebook

 

 

 

 

 

 

 

 

Ripetizioni on line di Economia Aziendale

 

Altro materiale presente presente su LezioniDiMatematica.net
Questo sito viene aggiornato senza nessuna periodicità. Non può pertanto considerarsi un prodotto editoriale ai sensi della legge n. 62 del 7.03.2001

Il materiale presente sul sito non può essere riprodotto senza esplicito consenso dell'autore

Disclaimer-Privacy

Partita IVA: 02136250681