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DIVISIBILITA' di un POLINOMIO P(x) per il BINOMIO (x+a)

 

Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo visto come condizione necessaria e sufficiente affinché un POLINOMIO INTERO in x, P(x) sia divisibile per il binomio (x-a) è che il POLINOMIO si ANNULLI quando ad x si SOSTITUISCE a.

 

Vediamo ora quando un polinomio

P(x) 

è divisibile per il binomio 

(x + a).

 

La nostra divisione è riconducibile al caso precedente scrivendo il binomio nella forma seguente:

x - (-a).

Quindi avremo:

P(x) = [x - (-a)] Q(x) + R.

 

Se nel dividendo sostituiamo alla lettera x il valore -a. Avremo:

P(-a) = (-a + a) Q(-a) + R.

 

Ovviamente 

(-a +a) = 0

e quindi:

(-a + a) Q(-a) = 0.

 

Pertanto se sostituiamo alla x il valore -a, avremo:

P(-a) = 0 + R = R.

Quindi:

P(-a) = R.

 

Pertanto possiamo dire che il RESTO della DIVISIONE di un POLINOMIO INTERO in x, P(x), per il BINOMIO (x + a) è il valore che assume il polinomio stesso quando SOSTITUIAMO alla lettera x il numero -a.

 

 

In modo analogo a quanto detto nella precedente lezione si nota che, se P(x) è divisibile per (x+a), il RESTO della divisione sarà ZERO. Cioè 

R = 0.

Quindi, poiché

 

P(-a) = R

avremo che

P(-a) = 0.

 

Viceversa se 

P(-a) = 0

avremo senz'altro che

R = 0.

Di conseguenza P(x) è divisibile per (x+a).

 

Quindi possiamo dire che condizione necessaria e sufficiente affinché un POLINOMIO INTERO in x, P(x) sia divisibile per il binomio (x+a) è che il POLINOMIO si ANNULLI quando ad x si SOSTITUISCE -a.

 

Esempio:

 (3x3 +9x2 -5x -15) : (x+3).

Senza eseguire la divisione vogliamo sapere se i due polinomi sono divisibili tra loro.

Poniamo:

 P(-3) =3·(-3)3 +(-3)2 -5·(-3) -15 = -81 +81 +15 -15= 0.

 

I due polinomi sono divisibili tra loro.

 

 

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