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REGOLA di RUFFINI

 

Per comprendere  

 

Immaginiamo di voler dividere il polinomio

P(x) 

per il binomio 

(x - a).

 

E' possibile trovare il QUOZIENTE e il RESTO della divisione senza eseguirla applicando la REGOLA di RUFFINI.

 

Vediamo in cosa consiste tale regola.

 

Supponiamo di avere un POLINOMIO di GRADO n ORDINATO secondo le POTENZE DECRESCENTI di x.

Esempio:

2x3 -4x2 +7x +5

polinomio di grado 3 ordinato secondo le potenze decrescenti di x.

 

 

Vogliamo DIVIDERE il polinomio per il binomio (x-a),

 

Esempio:

vogliamo dividerlo per

x - 4.

 

Quindi vogliamo eseguire:

(2x3 -4x2 +7x +5) : (x - 4).

 

 

Il QUOZIENTE della divisione sarà un POLINOMIO ORDINATO di grado n-1. Quindi il nostro quoziente sarà un polinomio di grado 2, del tipo:

x2 +x + termine noto.

 

Per trovare i COEFFICIENTI del QUOZIENTE scriviamo su una LINEA ORIZZONTALE i COEFFICIENTI del DIVIDENDO ricordando che il termine noto va scritto al di là di una linea verticale posta alla destra degli altri coefficienti,. Come segue:

 

Regola di Ruffini

 

Al di là della linea verticale di sinistra scriviamo il valore di a, nel nostro caso 4.

Regola di Ruffini

 

Iniziamo ora a calcolare i coefficienti del quoziente: essi verranno scritti al di sotto della linea orizzontale.

 

Il PRIMO COEFFICIENTE del quoziente è uguale al PRIMO COEFFICIENTE del DIVIDENDO. Nel nostro caso esso è 2: lo riscriviamo al di sotto della linea orizzontale.

 

Regola di Ruffini

 

Ogni COEFFICIENTE SUCCESSIVO si ottiene MOLTIPLICANDO il COEFFICIENTE PRECEDENTE per a e AGGIUNGENDO al prodotto il COEFFICIENTE del DIVIDENDO che ha lo STESSO POSTO.

Quindi il secondo coefficiente lo otteniamo moltiplicando il primo coefficiente del quoziente (ovvero 2) per a (nel nostro caso 4) e aggiungendo al prodotto (8) il coefficiente del dividendo che ha lo stesso posto (-4). 

Regola di Ruffini

 

Il terzo coefficiente lo otteniamo moltiplicando il secondo secondo coefficiente del quoziente (ovvero +4) per a (nel nostro caso 4) e aggiungendo al prodotto (+16) il coefficiente del dividendo che ha lo stesso posto (+7). 

Regola di Ruffini

 

Infine moltiplichiamo per a (nel nostro caso 4)  l'ULTIMO COEFFICIENTE del quoziente (ovvero +23) e AGGIUNGIAMO al prodotto (+92il termine noto del DIVIDENDO. Il valore così trovato rappresenta il RESTO della DIVISIONE: lo scriviamo sotto il termine noto a destra della seconda linea verticale.

 

Regola di Ruffini

 

 

Noi abbiamo detto che il QUOZIENTE è un POLINOMIO ORDINATO di grado 2, del tipo:

x2 +x + termine noto.

Completiamo ora tale polinomio con i coefficienti e avremo:

2x2 +4x + 23.

Infatti:

Regola di Ruffini

Il resto della nostra divisione è 97. Pertanto possiamo scrivere:

(2x3 -4x2 +7x +5) : (x - 4) = 2x2 +4x + 23 con resto di 97.

 

 

Se il DIVIDENDO non è un POLINOMIO COMPLETO bisogna ricordarsi di scrivere, al posto dei coefficienti mancanti, nella prima riga della tabella, degli ZERI.

 

Esempio:

(x5 -3x3 -2) : (x 1).

Come possiamo notare nel dividendo mancano i termini con parte letterale x4, x2 e x. Nella tabella che segue, mettiamo al loro posto degli zeri:

 

Regola di Ruffini

 

Il QUOZIENTE è un POLINOMIO ORDINATO di grado n-1. Quindi il nostro quoziente sarà un polinomio di grado 4. Quindi avremo:

(x5 -3x3 -2) : (x 1) = x4 -x3 -2x2 +2x -2 con resto di 0.

 

Nella lezione successiva vedremo un altro caso di applicazione della Regola di Ruffini.

 

 

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