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L'insieme dei NUMERI RAZIONALI RELATIVI

 

Per comprendere  

 

Nelle lezioni precedenti abbiamo osservato che la divisione NON E' UN'OPERAZIONE INTERNA in Z* Infatti, affinché la divisione tra due numeri interi, a e b, con b diverso da zero, sia eseguibile nell'insieme Z* è necessario che a sia multiplo di b

Da questa considerazione nasce la necessità di  ampliare l'insieme Z in un nuovo insieme, che è l'insieme Q ovvero l'insieme delle FRAZIONI, nel quale la divisione è sempre possibile. 

L'insieme Q è detto insieme dei NUMERI RAZIONALI RELATIVI o, più semplicemente, insieme dei NUMERI RAZIONALI. Infatti la parola razionale viene dal latino ratio che significa rapporto

Vediamo di definire, con un po' più di precisione, cosa si intende per insieme dei numeri razionali.

Iniziamo col dire che ogni FRAZIONE può essere scritta come il RISULTATO DELLA DIVISIONE tra il NUMERATORE e il DENOMINATORE. In altre parole possiamo dire che:

5/2 = 2,5

6/4 =  1,5

12/5 = 2,4.

 

 

Ogni frazione ha INFINITE FRAZIONI EQUIVALENTI, cioè infinite frazioni che, seppure scritte in modo diverso, indicano lo STESSO VALORE. Ad esempio:

5/2 = 2,5

10/4 = 2,5

15/6 = 2,5

20/8 = 2,5.

 

Tutte le FRAZIONI EQUIVALENTI individuano una CLASSE DI EQUIVALENZA,

Ricordiamo che dato un insieme A, si chiama CLASSE DI EQUIVALENZA, individuata da un elemento a appartenente ad A, l'INSIEME di tutti gli ELEMENTI di A che sono equivalenti ad a mediante una data relazione di equivalenza.

Quindi, ad esempio, tutte le frazioni equivalenti di 5/2 formano una classe di equivalenza nella quale la relazione di equivalenza con 5/2 è quella di avere lo stesso valore. 

Ovvero:

{5/2, 10/4, 15/6, 20/8, ......}

classe di equivalenza.

 

La CLASSE DI EQUIVALENZA può essere RAPPRESENTATA dalla FRAZIONE IRRIDUCIBILE della stessa classe.

Nel nostro esempio 5/2 rappresenta la classe di equivalenza 

{5/2, 10/4, 15/6, 20/8, ......}.

 

 

A questo punto possiamo definire NUMERO RAZIONALE ogni CLASSE DI EQUIVALENZA che rappresentiamo con la FRAZIONE IRRIDUCIBILE DELLA CLASSE STESSA.

 

 

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