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RELAZIONE D'ORDINE

 

Per comprendere  

 

Una relazione erre in un insieme A si dice RELAZIONE D'ORDINE in A se gode delle seguenti proprietà:

 

In questo caso si dice che l'insieme A è ORDINATO dalla RELAZIONE erre.

 

Sappiamo che, se a e b sono legati dalla relazione erre, si scrive

 

a associato b mediante la relazione r

che si legge

a associato b mediante b appartiene a B.

 

Se tra a e b esiste una RELAZIONE D'ORDINE scriveremo:

a minore o ugale a b

che si legge

a minore o uguale a b

oppure

a precede o coincide con b.

 

Si preferisce dire "a è minore o uguale a b" quando a e b sono due NUMERI.

Mentre si è soliti dire "a precede o coincide con b" quando a e b sono due PUNTI su una retta orientata.

 

Scrivere:

a minore o uguale a b

equivale a scrivere

b maggiore o uguale ad a

che si legge

b maggiore o uguale ad a

oppure

b segue o coincide con a.

 

Sappiamo che la PROPRIETA' RIFLESSIVA DI UNA RELAZIONE si può esprimere così:

Proprietà riflessiva della relazione su un insieme

che si legge

per qualunque a appartenente ad A, a associato ad a mediante R.

 

La PROPRIETA' ANTISIMMETRICA DI UNA RELAZIONE si può esprimere così:

Proprietà antisimmetrica della relazione su un insieme

che si legge

se per qualunque a e b appartenenti ad A, a associato a b mediante R e b associato ad a mediante R allora a è uguale a b.

 

La PROPRIETA' TRANSITIVA DI UNA RELAZIONE si può esprimere così:

Proprietà transitiva della relazione su un insieme

che si legge

se per qualunque a, b, c appartenenti ad A, a associato a b mediante R e b associato a c mediante R allora a è associato a c mediante R.

 

Quando ci troviamo di fronte ad una RELAZIONE D'ORDINE scriveremo:

PROPRIETA' RELAZIONE RELAZIONE D'ORDINE
RIFLESSIVA Proprietà riflessiva della relazione su un insieme Proprietà riflessiva della relazione d'ordine
ANTISIMMETRICA Proprietà antisimmetrica della relazione su un insieme Proprietà antisimmetrica della relazione d'ordine
TRANSITIVA Proprietà transitiva della relazione su un insieme Proprietà transitiva della relazione d'ordine

 

Vediamo come riconoscere se una relazione erre su un insieme A è una RELAZIONE D'ORDINE.

Consideriamo:

A = {abitanti dell'Italia}

erre = abita nella stessa città di

 

E' evidente che la relazione è riflessiva.

Essa è anche transitiva perché, posto che  a, b e c appartengano all'insieme A, se a abita nella stessa città di b e b abita nella stessa città di c, è evidente che anche a e c abitano nella stessa città.

La relazione però non è anche antisimmetrica, infatti, se a abita nella stessa città di b e b abita nella stessa città di a non significa che a e b siano la stessa persona.

Quindi la relazione "abita nella stessa città di" sull'insieme degli "abitanti dell'Italia" NON è una RELAZIONE D'ORDINE.

 

Ora consideriamo

N = {numeri naturali}

erre = è minore o uguale di

 

E' evidente che la relazione è riflessiva dato che ogni numero è uguale a se stesso.

La relazione è anche antisimmetrica perché, posto che  a, b siano due numeri naturali, se a è minore o uguale a b e b è minore o uguale ad a significa che a e b sono uguali.

Essa è anche transitiva, perché se a è minore o uguale a b e b è minore o uguale a c, senz'altro a è minore o uguale a c.

Quindi la relazione "è minore o uguale di" sull'insieme dei "numeri naturali" è una RELAZIONE D'ORDINE.

 

 

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