CONGRUENZA MODULO n in Z
- I numeri relativi
- Divisione
- Relazione tra insiemi
- Relazioni in un insieme
- L'insieme dei numeri razionali relativi
Prendiamo in esame l'INSIEME DEI NUMERI RELATIVI che indichiamo con la lettera Z.
Consideriamo un numero a tale che a sia un NUMERO INTERO RELATIVO. Quindi:
a
NUMERO INTERO RELATIVO.
Ora consideriamo un numero n tale che n sia un NUMERO INTERO POSITIVO. Quindi:
n
NUMERO INTERO POSITIVO.
Ora dividiamo a per n. Possiamo scrivere:
a : n = k + r
con
r = resto.
Quindi possiamo dire anche che:
a = nk + r
con
r < n.
Inoltre poniamo:
r > 0
cioè r deve essere positivo.
Esempio:
n = 5
a = 10
10 = 5 · (+2) + 0
n = 5
a = 19
19 = 5 · (+3) + 4
n = 5
a = - 22
-22 = 5 · (-5) + 3
Osserviamo, in modo particolare, quest'ultimo esempio.
Dividendo -22 per 5 abbiamo -4 con il resto di -2. Ma poiché abbiamo posto come condizione che r sia positivo dobbiamo scrivere il risultato in modo diverso.
In pratica aumentiamo di 1 il risultato della divisione e poi facciamo la somma algebrica con r, che deve essere positivo.
Ora osserviamo quest'altro esempio:
n = 3
a = 14
b = -13
14 = 3 · (+4) + 2
-13 = 3 · (-5) + 2.
Notiamo che, dividendo 14 e -13 per 3, si ottiene sempre come resto 2.
In questo caso si dice che 14 e -13 sono congrui tra loro modulo 3 che si scrive
che si legge
14 e -13 sono congrui tra loro modulo 3.
Generalizzando possiamo dire che dato un NUMERO INTERO POSITIVO n, si dice che due NUMERI INTERI RELATIVI a e b sono CONGRUI TRA LORO MODULO n se, divisi per n, danno lo STESSO RESTO.
In simboli scriviamo:
che si legge
a congruo b modulo n
oppure
a è congruo a b modulo n.
Così facendo abbiamo definito una RELAZIONE
nell'INSIEME Z.
Nella prossima lezione esamineremo meglio questa relazione.
Esistono altri modi per esprimere la RELAZIONE di CONGRUENZA MODULO n: ne parliamo in due successivi approfondimenti (Congruenza modulo n in Z, Congruenza modulo n in Z).
