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CONGRUENZA MODULO n in Z

 

Per comprendere  

 

Prendiamo in esame l'INSIEME DEI NUMERI RELATIVI che indichiamo con la lettera Z.

 

Consideriamo un numero a tale che a sia un NUMERO INTERO RELATIVO. Quindi:

NUMERO INTERO RELATIVO.

 

 

Ora consideriamo un numero n tale che n sia un NUMERO INTERO POSITIVO. Quindi:

NUMERO INTERO POSITIVO.

 

Ora dividiamo a per n. Possiamo scrivere:

a : n = k + r

con 

r = resto.

 

Quindi possiamo dire anche che:

a = nk + r

con 

r < n.

 

Inoltre poniamo:

r > 0

cioè r deve essere positivo.

 

 

Esempio:

n = 5

a = 10

10 = 5 · (+2) + 0

 

n = 5

a = 19

19 = 5 · (+3) + 4

 

n = 5

a = - 22 

-22 = 5 · (-5) + 3

Osserviamo, in modo particolare, quest'ultimo esempio.

Dividendo -22 per 5 abbiamo -4 con il resto di -2. Ma poiché abbiamo posto come condizione che r sia positivo dobbiamo scrivere il risultato in modo diverso.

In pratica aumentiamo di 1 il risultato della divisione e poi facciamo la somma algebrica con r, che deve essere positivo.

 

Ora osserviamo quest'altro esempio:

n = 3

a = 14 

b = -13

14 = 3 · (+4) + 2

-13 = 3 · (-5) + 2.

 

Notiamo che, dividendo 14 e -13 per 3, si ottiene sempre come resto 2.

In questo caso si dice che 14 e -13 sono congrui tra loro modulo 3 che si scrive

14 congruo -13 modulo 3

che si legge

14 e -13 sono congrui tra loro modulo 3.

 

 

Generalizzando possiamo dire che dato un NUMERO INTERO POSITIVO n, si dice che due NUMERI INTERI RELATIVI  a e b sono CONGRUI TRA LORO MODULO n se, divisi per n, danno lo STESSO RESTO.

 

In simboli scriviamo:

a congruo b modulo n

che si legge

a congruo b modulo n

oppure

a è congruo a b modulo n.

 

 

Così facendo abbiamo definito una RELAZIONE erre nell'INSIEME Z

 

Nella prossima lezione esamineremo meglio questa relazione.

 

Esistono altri modi per esprimere la RELAZIONE di CONGRUENZA MODULO n: ne parliamo in due successivi approfondimenti (Congruenza modulo n in Z, Congruenza modulo n in Z).

 

 

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