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CONGRUENZA MODULO n in Z

 

Per approfondire  

 

Parlando di CONGRUENZA abbiamo detto che dato un NUMERO INTERO POSITIVO n, si dice che due NUMERI INTERI RELATIVI  a e b sono CONGRUI TRA LORO MODULO n se, divisi per n, danno lo STESSO RESTO, cioè se:

a = nk + r

b = nk' + r.

 

In questo caso si scrive:

a congruo b modulo n

che si legge

a congruo b modulo n.

 

 

Nell'approfondimento precedente abbiamo detto che la  RELAZIONE di CONGRUENZA MODULO n può essere definita anche così:

  congruenza modulo n in Z

se a congruo b modulo n allora esiste un numero q appartenente a Z tale che a meno b è uguale a q per n e viceversa.

 

 

 

Potremmo anche dire che 

congruenza modulo n in Z

se a congruo b modulo n allora esiste un numero q appartenente a Z tale che a è uguale alla somma tra b e il prodotto di q per n e viceversa.

 

E' facile comprendere, infatti, che se

a - b = q·n

allora

a = b + qn

che si ottiene dalla precedente portando b a secondo membro e cambiando di segno.

 

 

 

Un ulteriore modo per esprime la CONGRUENZA MODULO n IN ZETA è il seguente:

congruenza modulo n in Z

se a congruo b modulo n allora n divide a meno b.

 

Il simbolo

n divide (a-b)

si legge

n divide a meno b

 

e indica, per l'appunto che, dividendo a - b per n il resto è zero, che è esattamente la stessa cosa che dire:

a - b = kn.

 

 

 

Inoltre possiamo scrivere anche che:

congruenza modulo n in Z

se a congruo b modulo n allora esiste un numero h appartenente a zeta tale che b meno a è uguale ad h per n.

 

Vediamo se è vera tale affermazione.

 

Se a è congruo b modulo n significa che dividendo a e b per n, il resto delle due operazioni (che chiamiamo r) è lo stesso. Quindi:

a = nk + r

b = nk' + r.

 

Ora vediamo a cosa è uguale

b - a.

Sostituiamo a b il suo valore e ad a il suo valore:

b - a = nk' + r - (nk + r) = nk' + r - nk - r = nk' - nk = n (k' - k).

 

Ora poniamo 

k' - k = h.

 

Quindi possiamo dire che

b - a = hn.

 

Abbiamo dimostrato che

Conguenza modulo n in Z

se a è congruo b modulo n allora esiste un numero h appartenente a Z tale che  b meno a è uguale ad h per n.

 

 

Ora dobbiamo dimostrare che è vero anche il contrario.

Partiamo da

b - a = hn.

 

Portiamo b a secondo membro cambiando di segno

- a = hn - b.

 

Cambiamo di segno:

a = - hn + b

a = b - hn.

 

Noi sappiamo che 

b = nk' + r.

Sostituiamo nella precedente e abbiamo:

a = nk' + r - hn.

 

Mettiamo in evidenza la n:

a = n (k' - h) + r.

 

Nella prima dimostrazione avevamo posto

k' - k = h 

quindi

k' - h = k .

 

Quindi possiamo dire che

a = kn + r.

 

Quindi abbiamo dimostrato anche che

 

Conguenza modulo n in Z

se esiste un numero h appartenente a Z tale che  b meno a è uguale ad h per n allora a è congruo b modulo n.

 

 

 

 

 

 

 

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