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CONGRUENZA MODULO n in Z

 

Per approfondire  

 

Parlando di CONGRUENZA abbiamo detto che dato un NUMERO INTERO POSITIVO n, si dice che due NUMERI INTERI RELATIVI  a e b sono CONGRUI TRA LORO MODULO n se, divisi per n, danno lo STESSO RESTO, cioè se:

a = nk + r

b = nk' + r.

In questo caso si scrive:

a congruo b modulo n

che si legge

a congruo b modulo n

oppure

a è congruo a b modulo n.

 

 

In alcuni testi la RELAZIONE di CONGRUENZA MODULO n viene definita in modo diverso.

 

Dato l'insieme Z dei NUMERI INTERI RELATIVI e a e b appartenenti a Z ed n NUMERO INTERO POSITIVO si dice a congruo b modulo n se esiste un numero q tale che q appartiene all'insieme dei numeri interi relativi e che a -b è uguale a q per n.

Ovvero:

Z = { NUMERI INTERI RELATIVI}

a e b appartengono a Z

n = NUMERO INTERO POSITIVO

  congruenza modulo n in Z

se a è congruo a b modulo n allora esiste un numero q appartenente a Z tale che a-b è uguale a q per n e viceversa

 

In parole povere a è congruo b modulo n se la differenza tra a e b è uguale al prodotto tra n è un altro numero relativo che chiamiamo q

O volendolo dire ancora in altri termini, se dividiamo a - b per n otteniamo q e la divisione non ha resto.

 

Tornando all'esempio visto nella lezione nella quale abbiamo parlato di congruenza possiamo verificare quanto detto. Infatti:

 

n = 3

a = 14 

b = -13

14 = 3 · (+4) + 2

-13 = 3 · (-5) + 2

a - b = 14 - (-13) = 14 + 13 = 27 = 9 · (+3).

 

 

Ora vogliamo dimostrare che esprimere i concetti in un modo o nell'altro è indifferente.

 

Se a è congruo b modulo n significa che dividendo a e b per n, il resto delle due operazioni (che chiamiamo r) è lo stesso. Quindi:

a = nk + r

b = nk' + r.

 

Ora vediamo a cosa è uguale

a - b.

Sostituiamo ad a il suo valore e a b il suo valore:

a - b= nk + r - (nk' + r) = nk + r - nk' - r = nk - nk' = n (k - k').

 

Ora poniamo 

k - k' = q.

 

Quindi possiamo dire che

a - b = qn.

 

Abbiamo dimostrato che

Conguenza modulo n in Z

se a è congruo b modulo n allora esiste un numero q appartenente a Z tale che a-b è uguale a q per n.

 

 

Ora dobbiamo dimostrare che è vero anche il contrario.

Partiamo da

a - b = qn.

 

Portiamo b a secondo membro cambiando di segno

a = qn + b.

 

Noi sappiamo che 

b = nk' + r.

Sostituiamo nella precedente e abbiamo:

a = qn + nk' + r.

 

Mettiamo in evidenza la n:

a = n (q + k') + r.

 

Nella prima dimostrazione avevamo posto

k - k' = q 

quindi

- q - k' = - k

q + k' = k .

 

Quindi possiamo dire che

a = kn + r.

 

Abbiamo dimostrato che

congruenza modulo n in Z

se esiste un numero q appartenente a Z tale che a-b è uguale a q per n allora a è congruo b modulo n.

 

Esistono anche altri modi di esprimere la RELAZIONE di CONGRUENZA MODULO n: li vedremo nel prossimo approfondimento.

 

 

 

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