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PARTIZIONE di un INSIEME

 

Per comprendere  

 

Consideriamo l'insieme I NON VUOTO:

I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

 

Lo rappresentiamo con un DIAGRAMMA DI VENN:

Partizione di un insieme

 

 

Ora consideriamo i seguenti SOTTOINSIEMI di I:

A = {1, 2, 3}

B = {4, 5}

C = {6, 7, 8}.

 

Li rappresentiamo graficamente:

Partizione di un insieme

 

 

Notiamo che:

  1. A, B e C NON sono VUOTI. Ovvero:

A diverso dall'insieme vuoto    B diverso dall'insieme vuoto    C diverso dall'insieme vuoto            

 

  1. A, B e C sono DISGIUNTI A DUE A DUE. Ovvero:

A intersecato B uguale l'insieme vuoto    A intersecato C uguale l'insieme vuoto    B intersecato C uguale l'insieme vuoto

 

  1. L'unione di A con B e con C è l'insieme I. Ovvero:

A unito con B, unito con C è uguale ad I

 

L'INSIEME formato dai SOTTOINSIEMI A, B e C prende il nome di PARTIZIONE dell'INSIEME I:

Partizione dell'insieme I = {A, B, C}

 

che avremmo potuto scrivere anche così:

Partizione dell'insieme I = { {1, 2, 3}, {4, 5}, {6, 7, 8} }.

 

 

Invece, A, B e C vengono chiamati CLASSI DELLA PARTIZIONE.

 

 

Ricapitolando:

si chiama PARTIZIONE di un insieme I, ogni INSIEME DI PARTI NON VUOTE di I, DISGIUNTE A DUE A DUE, e la cui UNIONE è uguale a I.

Queste parti prendono il nome di CLASSI DELLA PARTIZIONE.

 

 

Da uno stesso insieme possiamo ottenere diverse partizioni. Ad esempio dal nostro insieme avremmo potuto ottenere anche:

 

Partizione dell'insieme I = { {1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8} }

oppure

Partizione dell'insieme I = { {2, 3, 4}, {1, 5, 8}, {6, 7} }

e molte altre ancora.

 

 

Notiamo che dato l'insieme I avremmo potuto scrivere:

Partizione dell'insieme I = { {1, 2, 3}, {4, 5, 6, 7, 8} }.

 

In questo caso l'insieme I ha solamente DUE CLASSI DI PARTIZIONE che sono tra loro COMPLEMENTARI rispetto ad I.

 

In una precedente lezione abbiamo parlato dell'INSIEME DELLE PARTI che indichiamo col simbolo

Insieme delle parti di I

 

LINSIEME DELLE PARTI DI di I è l'insieme i cui ELEMENTI sono tutti i SOTTOINSIEMI di I, compreso l'INSIEME VUOTO e I STESSO.

 

Una PARTIZIONE DI I è un SOTTOINSIEME dell'INSIEME DELLE PARTI di I.

Facciamo un esempio:

I = {0, 2, 4}.

Insieme delle parti di I

Una delle possibili partizioni di I = {{0, 4}, {2}}.

 

La nostra partizione di I è un sottoinsieme dell'insieme delle parti di I, infatti:

Partizione di I sottoinsieme dell'insieme delle parti di I

 

 

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