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TEOREMI sui LOGARITMI: TEOREMA del PRODOTTO

 

 



Per comprendere  

 

In questa e nelle prossime lezioni esamineremo i TEOREMI sui LOGARITMI

Iniziamo con il TEOREMA DEL PRODOTTO dei LOGARITMI.

 

Il LOGARITMO del PRODOTTO di due o più FATTORI POSITIVI è uguale alla SOMMA dei LOGARITMI dei singoli fattori.

In altre parole:

loga (b · c) = loga b + loga c.

 

Vediamo perché.

Poniamo

x = loga b

e

y.

Per la definizione di logaritmo sappiamo che

ax = b

e

ay = c.

 

Moltiplichiamo il primo membro della prima per il primo membro della seconda e moltiplichiamo il secondo membro della prima per il secondo membro della seconda. Otteniamo:

ax · ay = b · c.

 

A primo membro applichiamo le proprietà delle potenze:

ax+y = bc.

La definizione di logaritmo ci dice che se

ax = b

allora

x = loga b.

Quindi

ax+y = bc

lo possiamo scrivere come

x+y = loga (bc).

 

Noi, all'inizio di questa dimostrazione, avevamo posto

x = loga b

e

y = loga c.

 

Andiamo allora a sostituire ad x+y i rispettivi valori e avremo:

loga b + loga c = loga (bc)

 

che è esattamente la proprietà scritta all'inizio, anche se i membri sono stati invertiti.

 

La regola non vale solamente nel caso di due fattori, ma anche se il loro numero è superiore.

 

Vediamo un esempio di applicazione di questa proprietà.

Esempio:

log5 (25 · 125) = log5 25 + log5 125 = 2 + 3 = 5.

 

Abbiamo detto che la regola vale anche in presenza di più fattori. 

Esempio:

log2 (8 · 4  · 16) = log2 8 + log2 4 + log2 16 = 3 + 2 + 4 = 9.

 

Ovviamente, la proprietà del prodotto può essere usata anche in modo inverso. 

Esempio:

log2 3 + log2 4 = log2 (3 · 4) = log2 12 = 3,58496.

 

 

Nelle prossime lezioni proseguiremo l'esame dei teoremi sui logaritmi.

 

 

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