LezioniDiMatematica.net

 
 
 
  Torna alla Home page del sitoIscriviti alla nostra newsletter per essere informato sugli aggiornamenti del sitoContattaci       
     

          

     
     

 

FUNZIONE LOGARITMICA

 

 



Per comprendere  

 

Consideriamo la seguente funzione:

y = loga x

con 

a appartenente ai reali positivi meno l'insieme formato dal numeor uno

che si legge

con a appartenente ai reali positivi meno l'insieme formato dall'elemento uno.

 

Questo tipo di funzione prende il nome di FUNZIONE LOGARITMICA.

 

Vediamo qual è il GRAFICO della FUNZIONE LOGARITMICA

Per farlo distinguiamo i due casi in cui:

a > 1 

0 < a < 1.

 

Partiamo dal primo caso

a > 1.

 

Per esaminare questo caso poniamo

a = 2.

e scriviamo la funzione

y = log2 x

 

Attribuiamo ad x alcuni valori casuali, in modo da osservare come varia y al variare di x. Ricordiamo che l'ARGOMENTO del logaritmo deve essere POSITIVO, quindi dobbiamo attribuire alla x solamente valori positivi. Supponiamo allora che x assuma i seguenti valori:

1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16.

 

Mediante la formula di cambiamento delle basi e una calcolatrice scientifica troviamo i corrispondenti valori di y, che sono

-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

 

Usiamo le coppie di valori appena trovati

x

y

1/16 -4
1/8 -3
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
16 4

e tracciamo il grafico della funzione 

y = log2 x.

Esso è

Funzione logaritmica

 

Osserviamo che:

  • tutto il grafico della funzione si trova nel semipiano delle x positive e ciò è la conseguenza del fatto che l'argomento deve essere positivo;

  • la curva interseca l'asse delle ascisse nel punto di coordinate (1; 0);

  • quando l'argomento, (cioè la nostra x) assume valori MINORI di 1 (ma maggiori di zero), la y è NEGATIVA, mentre quando assume valori MAGGIORI di 1, la y è POSITIVA,

  • al crescere dell'argomento (quindi della x) cresce anche il valore della y. Pertanto possiamo dire che la FUNZIONE è CRESCENTE;

  • mano a mano che la x assume valori positivi via via più vicini allo zero, l'ordinata diminuisce. Questo andamento del grafico viene espresso dicendo che al tendere di x allo zero 0+ per indicare che x è positivo e si avvicina sempre più a zero), loga x tende a meno infinito  -);

  • mano a mano che la x assume valori via via più grandi, l'ordinata cresce. Questo andamento del grafico viene espresso dicendo che al tendere di x all'infinito ( che si esprime con il simbolo ), loga x tende all'infinito;

Questo andamento è tipico della funzione logaritmica ogni volta che a > 1.

 

 

Ora vediamo cosa accade quando 

0 < a < 1.

 

Per esaminare questo caso poniamo

a = 1/2.

e scriviamo la funzione

y = log1/2 x

 

Attribuiamo ad x alcuni valori casuali, in modo da osservare come varia y al variare di x. Ovviamente l'ARGOMENTO del logaritmo deve essere sempre POSITIVO, quindi dobbiamo attribuire alla x solamente valori positivi minori di 1. Supponiamo allora che x assuma i seguenti valori:

1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16.

 

Mediante la formula di cambiamento delle basi e una calcolatrice scientifica troviamo i corrispondenti valori di y, che sono

4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, 4.

 

Usiamo le coppie di valori appena trovati

x

y

1/16 4
1/8 3
1/4 2
1/2 1
1 0
2 -1
4 -2
8 -3
16 -4

e troviamo il grafico della funzione 

y = log1/2 x.

Esso è

Funzione logaritmica

 

Osserviamo che:

  • tutto il grafico della funzione si trova nel semipiano delle x positive e ciò è la conseguenza del fatto che l'argomento deve essere positivo;

  • la curva interseca l'asse delle ascisse nel punto di coordinate (1; 0);

  • quando l'argomento, (cioè la nostra x) assume valori MINORI di 1 (ma maggiori di zero), la y è POSITIVA, mentre quando assume valori MAGGIORI di 1, la y è NEGATIVA,

  • al crescere dell'argomento (quindi della x) decresce il valore della y. Pertanto possiamo dire che la FUNZIONE è DECRESCENTE;

  • mano a mano che la x assume valori positivi via via più vicini allo zero, l'ordinata cresce. Questo andamento del grafico viene espresso dicendo che al tendere di x allo 0+ (per indicare che x è positivo e si avvicina sempre più a zero), loga x tende a più infinito (che si esprime con il simbolo di +);

  • mano a mano che la x assume valori via via più grandi, l'ordinata decresce. Questo andamento del grafico viene espresso dicendo che al tendere di x all'infinito (che si indica con il simbolo ), loga x tende a meno infinito (che si esprime con il simbolo di +);

Questo andamento è tipico della funzione logaritmica ogni volta che a < 1.

 

Ora mettiamo a confronto i due grafici appena disegnati:

Funzione logaritmica

 

Osserviamo che le due curve sono tra loro simmetriche rispetto all'asse delle x.

Questo perché, per le proprietà dei logaritmi

Proprietà dei logaritmi: inversione della base

log1/2 x = - log2 x.

 

 

  Lezione precedente - Lezione successiva

Indice argomenti su esponenziali e logaritmi

 

Per comprendere

Tutte le altre lezioni su esponenziali e logaritmi

 

 

 

Lezioni, Esercitazioni e Approfondimenti di matematica e geometria

MATEMATICA:

GEOMETRIA:

GEOMETRIA ANALITICA:

 

 

 
 
www.SchedeDiGeografia.net

wwwStoriaFacile.net

www.EconomiAziendale.net

www.DirittoEconomia.net

www.LeMieScienze

www.MarchegianiOnLine.net

 

 

Il significato dei principali simboli usati in matematica e geometria

I nostri ebook

 

 

 

 

 

 

 


 

Ripetizioni on line di Economia Aziendale

 


Altro materiale presente presente su LezioniDiMatematica.net
Questo sito viene aggiornato senza nessuna periodicità. Non può pertanto considerarsi un prodotto editoriale ai sensi della legge n. 62 del 7.03.2001

Il materiale presente sul sito non può essere riprodotto senza esplicito consenso dell'autore

Disclaimer-Privacy

Partita IVA: 02136250681