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EQUAZIONI RECIPROCHE di SECONDA SPECIE di QUINTO GRADO

 

Per comprendere  

 

Concludiamo l'argomento delle EQUAZIONI RECIPROCHE parlando delle EQUAZIONI RECIPROCHE di SECONDA SPECIE di QUINTO GRADO.

 

Esse si presentano nel modo seguente:

ax5 + bx4 + cx3 - cx2 - bx - a = 0.

 

Intuitivamente notiamo che l'equazione ammette come radice 

x = 1.

 

Infatti: 

ax5 + bx4 + cx3 - cx2 - bx - a = 0

a(1)5 + b(1)4 + c(1)3 - c(1)2 - b(1) - a = 0

a + b + c - c - b - a = 0.

 

Questo significa che la nostra equazione è divisibile per il binomio (x - 1).

 

Quindi, applicando la regola di Ruffini, possiamo dividere il polinomio dato per (x-1) in questo modo  otterremo come quoziente un'equazione reciproca di prima specie di quarto grado che chiameremo Q(x).

 

Pertanto per risolvere l'equazione di partenza è sufficiente risolvere l'equazione:

(x -1) Q(x)  = 0.

 

Per la legge di annullamento del prodotto se un prodotto è zero, almeno uno dei suoi fattori è zero.

 

Quindi si tratterà di risolvere due equazioni:

x-1 = 0 che è un'equazione lineare la cui soluzione è x = 1

e

Q(x) = 0 che, come abbiamo detto, è un'equazione reciproca di prima specie di quarto grado.

 

 

Esempio:

2x5 - 3x4 - 5x3 + 5x2 + 3x - 2 = 0.

 

Per prima cosa osserviamo che ci troviamo di fronte ad un'equazione reciproca di seconda specie:

2x5 - 3x4 - 5x3 + 5x2 + 3x - 2 = 0.

 

 

Dividiamo l'equazione per x - 1 applicando la regola di Ruffini:

(2x5 - 3x4 - 5x3 + 5x2 + 3x - 2) : (x-1).

 

Regola di Ruffini

 

Quindi possiamo scrivere:

(2x5 - 3x4 - 5x3 + 5x2 + 3x - 2) : (x-1)  =

= 2x4 - x3 - 6x2 - x + 2.

 

Di conseguenza la nostra equazione di partenza può essere scritta come:

(x-1) (2x4 - x3 - 6x2 - x + 2) = 0.

 

Risolviamo e abbiamo:

 

x - 1 = 0

x = 1

 

2x4 - x3 - 6x2 - x + 2 = 0.

Dividiamo per x2:

2x4/x2 - x3/x2 - 6x2/x2 - x/x2+ 2/x2 = 0

2x2 - x - 6 - 1/x+ 2/x2 = 0.

 

Mettiamo in evidenza 2 e -1:

2(x2 +1/x2) -1 (x + 1/x) - 6 = 0.

 

Poniamo:

x2 +1/x2 = (x +1/x)2 - 2.

 

Sostituiamo nella precedente e abbiamo:

2[(x +1/x)2 -2] -1 (x + 1/x) - 6 = 0

2(x +1/x)2 -4 -1 (x + 1/x) - 6 = 0

2(x +1/x)2 -1 (x + 1/x) - 6 - 4 = 0

2(x +1/x)2 -1 (x + 1/x) - 10 = 0.

 

Poniamo:

t = x + 1/x

e abbiamo

2t2 - t - 10 = 0.

 

Risolviamo e abbiamo:

Equazione di secondo grado completa

 

 

Ora ricordiamo che:

t = x + 1/x.

 

Quindi avremo:

 

Equazione reciproca

 

Equazione reciproca

 

 

Le soluzioni della nostra equazione, quindi, sono:

x = +1

x = 1/2

x = 2

x = -1.

 

 

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