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EQUAZIONI RECIPROCHE di SECONDA SPECIE di  TERZO GRADO

 

 

Per comprendere  

 

Passiamo a parlare delle EQUAZIONI RECIPROCHE di SECONDA SPECIE di GRADO DISPARI.

Iniziamo col dire che, questo tipo di equazioni si sanno risolverle FINO AL QUINTO GRADO.

In questa lezione ci occuperemo delle EQUAZIONI RECIPROCHE di SECONDA SPECIE di TERZO GRADO, mentre quelle di quinto grado le esamineremo nella lezione successiva.

 

Le EQUAZIONI RECIPROCHE di SECONDA SPECIE di TERZO GRADO si presentano nel modo seguente:

ax3 + bx2 - bx - a = 0.

 

Intuitivamente notiamo che l'equazione ammette come radice 

x = 1.

 

Infatti: 

ax3 + bx2 - bx - a = 0

a(1)3 + b(1)2 - b(1) - a  = 0

a + b - b - a = 0.

 

Questo significa che la nostra equazione è divisibile per il binomio (x - 1).

 

Quindi, applicando la regola di Ruffini, possiamo dividere il polinomio dato per (x-1) in questo modo  otterremo come quoziente un'equazione di secondo grado che chiameremo Q(x).

 

Pertanto per risolvere l'equazione di partenza è sufficiente risolvere l'equazione:

(x -1) Q(x)  = 0.

 

Per la legge di annullamento del prodotto se un prodotto è zero, almeno uno dei suoi fattori è zero.

 

Quindi si tratterà di risolvere due equazioni:

x-1 = 0 che è un'equazione lineare la cui soluzione è x = 1

e

Q(x) = 0 che è un'equazione di secondo grado.

 

 

Esempio:

-3x3 -7x2 +7x +3  = 0.

 

Per prima cosa osserviamo che ci troviamo di fronte ad un'equazione reciproca di seconda specie:

-3x3 -7x2 +7x +3  = 0.

 

 

Dividiamo l'equazione per x - 1 applicando la regola di Ruffini:

(-3x3 -7x2 +7x +3) : (x-1).

 

Regola di Ruffini

 

Quindi possiamo scrivere:

(-3x3 -7x2 +7x +3) : (x-1)  =

= -3x2-10x -3.

 

Di conseguenza la nostra equazione può essere scritta come:

(x-1) (-3x2 -10x -3) = 0.

 

Risolviamo e abbiamo:

 

x - 1 = 0

x = 1

 

-3x2 -10x -3

Risolviamo e abbiamo:

Equazione di secondo grado completa

 

 

 

Le soluzioni della nostra equazione, quindi, sono:

x = +1

x = -1/3

x = -3.

 

 

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