EQUAZIONI RECIPROCHE DI PRIMA SPECIE DI QUARTO GRADO

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Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:

• Equazioni reciproche
• Equazioni di primo grado ad una incognita
• Equazioni di secondo grado ad una incognita
• Risoluzione delle equazioni di secondo grado complete
• Raccoglimento a fattor comune parziale

Nella lezione precedente abbiamo visto cosa si intende per EQUAZIONI RECIPROCHE e le abbiamo distinte in EQUAZIONI RECIPROCHE di:

• PRIMA SPECIE;
• SECONDA SPECIE.

In questa lezione vedremo come si risolvono le EQUAZIONI RECIPROCHE DI PRIMA SPECIE.

Ricordiamo che, con questa espressione, si intendono le equazioni nelle quali i COEFFICIENTI DEI TERMINI ESTREMI e di quelli EQUIDISTANTI dagli estremi sono UGUALI.

Iniziamo col vedere come si risolvono le EQUAZIONI RECIPROCHE DI PRIMA SPECIE di GRADO PARI e precisamente di QUARTO GRADO. Infatti non conosciamo il modo di risolvere le equazioni reciproche di prima specie di grado pari superiore al quarto.

L'equazione si presenterà nella forma:

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0.

Dividiamo entrambi i membri dell'equazione per x² (con x² ≠ 0).

Avremo:

Ora mettiamo in evidenza la a e la b effettuando un raccoglimento a fattore comune parziale:

Osserviamo che possiamo scrivere:

Infatti:

Quindi sostituiamo

nell'equazione

e abbiamo:

da cui:

Ora, ponendo

t = (x + 1/x)

la nostra equazione diventa

at² + bt +c -2a = 0.

Questa è una EQUAZIONE DI SECONDO GRADO risolvibile nei modi consueti ricordando che

c-2a

è il TERMINE NOTO.

Una volta trovate le soluzioni di t, se esse esistono, bisognerà cercare quelle di x ricordando che

t = (x + 1/x).

Esempio:

6x⁴ +5x³ -38x² +5x +6=0.

Come possiamo notare l'EQUAZIONE è RECIPROCA DI PRIMA SPECIE di QUARTO GRADO.

Dividiamo per x²:

6x² +5x-38+5/x +6/x²=0.

Mettiamo in evidenza il 6 e il 5:

6(x² +1/x²)+ 5(x +1/x) -38 = 0.

Sostituiamo

x² +1/x² = (x + 1/x)² -2

e abbiamo

6[(x + 1/x)² - 2] + 5(x +1/x) -38 = 0

6(x + 1/x)² -12+ 5(x +1/x) -38 = 0

6(x + 1/x)² + 5(x +1/x) -38 -12 = 0

6(x + 1/x)² + 5(x +1/x) -50 = 0.

Poniamo

t = x+ 1/x

e abbiamo

6t² + 5t - 50 = 0.

Ora cerchiamo i valori di x che soddisfano l'equazione:

Quindi le soluzioni dell'equazione sono:

x = -3;    x = -1/3;    x = 1/2;    x = 2.

Lezione precedente - Lezione successiva

Indice degli argomenti sulle equazioni di grado superiore al secondo

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