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EQUAZIONI RECIPROCHE di PRIMA SPECIE di QUARTO GRADO

 

Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo visto cosa si intende per EQUAZIONI RECIPROCHE e  le abbiamo distinte in EQUAZIONI RECIPROCHE di:

  • PRIMA SPECIE;

  • SECONDA SPECIE.

 

In questa lezione vedremo come si risolvono le EQUAZIONI RECIPROCHE DI PRIMA SPECIE.

Ricordiamo che, con questa espressione, si intendono le equazioni nelle quali i COEFFICIENTI DEI TERMINI ESTREMI  e di quelli EQUIDISTANTI dagli estremi sono UGUALI.

 

Iniziamo col vedere come si risolvono le EQUAZIONI RECIPROCHE DI PRIMA SPECIE di GRADO PARI e precisamente di QUARTO GRADO. Infatti non conosciamo il modo di risolvere le equazioni reciproche di prima specie di grado pari superiore al quarto.

 

L'equazione si presenterà nella forma:

ax4 + bx3 + cx2 +bx + a  = 0.

 

Dividiamo entrambi i membri dell'equazione per x2 (con x2 ≠ 0).

Avremo:

Risoluzione equazioni reciproche

Ora mettiamo in evidenza la a e la b effettuando un raccoglimento a fattore comune parziale:

Risoluzione equazioni reciproche

 

Osserviamo che possiamo scrivere:

Risoluzione equazioni reciproche

 

Infatti:

Risoluzione equazioni reciproche

 

Quindi sostituiamo

Risoluzione equazioni reciproche

nell'equazione

Risoluzione equazioni reciproche

 

e abbiamo:

Risoluzione equazioni reciproche

 

da cui:

Risoluzione equazioni reciproche

Ora, ponendo 

t = (x + 1/x)

 

la nostra equazione diventa

at2 + bt +c -2a = 0.

 

Questa è una EQUAZIONE DI SECONDO GRADO risolvibile nei modi consueti ricordando che

c-2a

è il TERMINE NOTO.

 

Una volta trovate le soluzioni di t, se esse esistono, bisognerà cercare quelle di x ricordando che

t = (x + 1/x).

 

 

Esempio:

6x4 +5x3 -38x2 +5x +6=0.

Come possiamo notare l'EQUAZIONE è RECIPROCA DI PRIMA SPECIE di QUARTO GRADO.

Dividiamo per x2:

6x2 +5x -38 +5/x +6/x2=0.

 

Mettiamo in evidenza il 6 e il 5:

6(x+1/x2)+ 5(x +1/x) -38 = 0.

 

Sostituiamo 

x+1/x2 = (x + 1/x) -2

e abbiamo

6[(x + 1/x)2 - 2] + 5(x +1/x) -38 = 0

6(x + 1/x)2 -12 + 5(x +1/x) -38 = 0

6(x + 1/x)2 + 5(x +1/x) -38 -12 = 0

6(x + 1/x)2 + 5(x +1/x) -50 = 0.

 

Poniamo

t = x + 1/x

 

e abbiamo

6t2 + 5t - 50 = 0.

 

Equazioni reciproche

 

Ora cerchiamo i valori di x che soddisfano l'equazione:

Equazioni reciproche

 

Equazioni reciproche

 

 

Quindi le soluzioni dell'equazione sono:

x = -3;  x = -1/3;  x = 1/2;  x = 2

 

 

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Indice argomenti su equazioni di grado superiore al secondo

 

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