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EQUAZIONI RECIPROCHE di SECONDA SPECIE di  QUARTO GRADO

 

Per comprendere  

 

Dopo aver visto, nelle lezioni precedenti, come si risolvono le equazioni reciproche di prima specie, passiamo ora a parlare delle EQUAZIONI RECIPROCHE di SECONDA SPECIE.

 

Ricordiamo quanto abbiamo appreso nella quinta lezione, ovvero che si chiamano EQUAZIONI RECIPROCHE di SECONDA SPECIE quelle nelle quali i COEFFICIENTI DEI TERMINI ESTREMI  e di quelli EQUIDISTANTI dagli estremi sono OPPOSTI.

 

Sempre nella stessa lezione, abbiamo visto che, nel caso in cui tali equazioni, sono di GRADO PARI, deve MANCARE IL TERMINE EQUIDISTANTE DAGLI ESTREMI.

 

Ora, aggiungiamo anche che, per quanto riguarda le EQUAZIONI RECIPROCHE di SECONDA SPECIE di GRADO PARI siamo in grado di risolverle FINO AL SESTO GRADO.

 

In questa lezione vedremo come si risolvono le EQUAZIONI RECIPROCHE di SECONDA SPECIE di QUARTO GRADO.

Esse si presentano nel modo seguente:

ax4 + bx3 - bx - a  = 0.

 

Come possiamo notare manca il termine equidistante dagli estremi (x2). 

Intuitivamente  possiamo affermare che l'equazione ammette come radici 

x = 1

e

x = -1.

 

Iniziamo a vedere, infatti, che il polinomio si annulla se 

x = 1.

ax4 + bx3 - bx - a  = 0

a(1)4 + b(1)3 -b(1)3- a  = 0

a + b - b - a  = 0.

 

Questo significa che la nostra equazione è divisibile per il binomio

x - 1.

 

Ora osserviamo che il polinomio si annulla anche se 

x = - 1.

ax4 + bx3 - bx - a  = 0

a(-1)4 + b(-1)3 -b(-1)- a  = 0

a(1) + b(-1) -b(-1)- a  = 0

a - b + b - a  = 0.

 

Questo significa che la nostra equazione è divisibile anche per il binomio

x + 1.

 

 

Quindi, applicando la regola di Ruffini, dividiamo prima per (x-1) e poi per (x+1):

(ax4 + bx3 - bx - a) : (x - 1).

 

Procedendo in questo modo otteniamo come quoziente un polinomio di terzo grado.

Se, indichiamo con Q(x) il quoziente, possiamo scrivere il polinomio di partenza sotto forma del seguente prodotto:

ax4 +bx3- bx2 - a  = (x-1) Q(x).

 

Ora dividiamo Q(x) per (x+1) ottenendo un quoziente Q'(x) di secondo grado.

Q(x) : (x+1) = Q'(x).

 

Quindi possiamo scrivere:

Q(x)  = (x+1) Q'(x).

 

Pertanto per risolvere l'equazione di partenza è sufficiente risolvere l'equazione:

(x+1) (x -1) Q'(x) = 0.

 

Per la legge di annullamento del prodotto se un prodotto è zero, almeno uno dei suoi fattori è zero.

 

Quindi si tratterà di risolvere tre equazioni:

x+1 = 0 che è un'equazione lineare la cui soluzione è x = -1

x-1 = 0 che è anch'essa un'equazione lineare la cui soluzione è x = +1

e

Q(x) = 0 che è un'equazione di secondo grado che si risolve applicando la formula risolutiva. Infatti avendo applicato per due volta la regola di Ruffini avremo abbassato di due gradi il grado del polinomio di partenza.

 

Da quanto abbiamo detto è evidente che due delle radici delle EQUAZIONI RECIPROCHE DI SECONDA SPECIE DI QUARTO GRADO sono sempre  

x = -1

e

x = +1.

 

 

Esempio:

3x4 -10x3 +10x -3  = 0.

 

Per prima cosa osserviamo che ci troviamo di fronte ad un'equazione reciproca di seconda specie:

3x4 -10x3 +10x -3  = 0.

 

Inoltre manca il termine equidistante dagli estremi (x2). 

 

Iniziamo col dividere l'equazione per x + 1 applicando la regola di Ruffini:

(3x4 -10x3 +10x -3) : (x+1).

 

Regola di Ruffini

 

Nel nostro esempio il dividendo non è un polinomio completo, infatti manca il termine x2: in questo caso bisogna ricordarsi di scrivere, al posto del coefficiente mancante, nella prima riga della tabella, uno ZERO.

Quindi possiamo scrivere:

(3x4 -10x3 +10x -3) : (x+1)  =

= 3x3 -13x2 +13x -3.

 

Ora dividiamo il quoziente ottenuto per (x-1). Ovvero:

(3x3 -13x2 +13x -3) : (x-1).

 

Regola di Ruffini

 

Quindi possiamo scrivere:

(3x3 -13x2 +13x -3) : (x-1)  =

= 3x2 -10x +3.

 

 

 

Di conseguenza la nostra equazione può essere scritta come:

(x+1) (x-1) (3x2 -10x +3) = 0.

 

Risolviamo e abbiamo:

 

x+1 = 0

x = -1

 

x - 1 = 0

x = 1

 

3x2 - 10x + 3 = 0

 

Regola di Ruffini

 

 

Le soluzioni della nostra equazione, quindi, sono:

x = -1

x = +1

x = 1/3

x = 3.

 

Nella prossima lezione vedremo come si risolvono le equazioni reciproche di seconda specie di sesto grado.

 

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