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EQUAZIONI RECIPROCHE di PRIMA SPECIE di TERZO GRADO

 

Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo visto come si risolvono le EQUAZIONI RECIPROCHE DI PRIMA SPECIE di GRADO PARI e precisamente quelle di QUARTO GRADO.

Ora iniziamo ad occuparci delle EQUAZIONI RECIPROCHE DI PRIMA SPECIE di GRADO DISPARI: in particolare, in questa lezione, ci occuperemo delle equazioni di TERZO GRADO, mentre nella prossima lezione vedremo quelle di QUINTO GRADO.

Precisiamo che non siamo in grado di risolvere equazioni reciproche di prima specie di grado dispari quando esse sono di grado superiore al quinto.

 

Iniziamo, allora, a vedere come si risolvono le EQUAZIONI RECIPROCHE DI PRIMA SPECIE di TERZO GRADO.

L'equazione si presenta nella forma seguente:

 

ax3 + bx2 + bx + a  = 0.

 

Ad intuito possiamo dire che l'equazione ammette come radici 

x = -1.

Infatti:

a(-1)3 + b(-1)2 + b(-1) + a  

a(-1) + b(+1) + b(-1) + a  

-a + b - b + a  = 0.

 

(Per una dimostrazione di quanto detto, che non si basi solamente sull'intuizione possiamo leggere l'approfondimento Equazioni reciproche di prima specie di terzo grado).

 

Questo significa che la nostra equazione è divisibile per il binomio

x + 1.

 

Quindi, applicando la regola di Ruffini, eseguiamo la seguente divisione:

(ax3 + bx2 + bx + a) : (x + 1).

 

Procedendo in questo modo otteniamo come quoziente un polinomio di secondo grado.

Se, indichiamo con Q(x) il quoziente, possiamo scrivere il polinomio di partenza sotto forma del seguente prodotto:

ax3 + bx2 + bx + a = (x+1) Q(x).

 

Per risolvere l'equazione di partenza è sufficiente risolvere l'equazione:

(x+1) Q(x) = 0.

 

Per la legge di annullamento del prodotto se un prodotto è zero, uno almeno dei suoi fattori è zero.

 

Quindi si tratterà di risolvere due equazioni:

x+1 = 0 che è un'equazione lineare la cui soluzione è x = -1

e

Q(x) = che è un'equazione di secondo grado risolvibile applicando la formula risolutiva. Infatti avendo applicato la regola di Ruffini avremo abbassato di un grado il grado del polinomio.

 

Da quanto abbiamo detto è evidente che una delle radici delle EQUAZIONI RECIPROCHE DI PRIMA SPECIE DI TERZO GRADO è sempre  

x = -1.

 

Esempio:

6x3 -7x2 -7x +6  = 0.

 

Per prima cosa osserviamo che ci troviamo di fronte ad un'equazione reciproca di prima specie:

6x3 -7x2 -7x +6  = 0.

 

Iniziamo col dividere l'equazione per x + 1 applicando la regola di Ruffini:

(6x3 -7x2 -7x +6) : (x+1).

 

Regola di Ruffini

 

Quindi possiamo scrivere:

(6x3 -7x2 -7x +6) : (x+1) = 6x2 - 13x + 6.

 

Di conseguenza la nostra equazione può essere scritta come:

(x+1) (6x2 - 13x + 6) = 0.

 

Risolviamo e abbiamo:

x+1 = 0

x = -1

e

6x2 - 13x + 6 = 0

 

Equazioni reciproche di prima specie di terzo grado

 

Le soluzioni della nostra equazione sono:

x = -1

x = 2/3

x = 3/2.

 

 

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