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EQUAZIONI RECIPROCHE di SECONDA SPECIE di  SESTO GRADO

 

Per comprendere  

 

Come abbiamo detto nella lezione precedente le EQUAZIONI RECIPROCHE di SECONDA SPECIE sono quelle nelle quali i COEFFICIENTI DEI TERMINI ESTREMI  e di quelli EQUIDISTANTI dagli estremi sono OPPOSTI.

Nella stessa lezione, abbiamo visto che, nel caso in cui tali equazioni, sono di GRADO PARI, deve MANCARE IL TERMINE EQUIDISTANTE DAGLI ESTREMI.

Inoltre abbiamo appreso che, per quanto riguarda le EQUAZIONI RECIPROCHE di SECONDA SPECIE di GRADO PARI siamo in grado di risolverle FINO AL SESTO GRADO.

 

Sempre nella lezione precedente abbiamo appreso come si risolvono le equazioni reciproche di seconda specie di quarto grado. Ora vediamo come procedere alla risoluzione delle EQUAZIONI RECIPROCHE di SECONDA SPECIE di SESTO GRADO.

Esse si presentano nel modo seguente:

ax6 + bx5 + cx4- cx2 - bx - a  = 0.

 

Come possiamo notare manca il termine equidistante dagli estremi (x3). 

Intuitivamente  possiamo affermare che l'equazione ammette come radici 

x = 1

e

x = -1.

 

Iniziamo a vedere, infatti, che il polinomio si annulla se 

x = 1.

ax6 + bx5 + cx4- cx2 - bx - a  = 0

a(1)6 + b(1)5 + c(1)4 - c (1)2 - b(1)- a  = 0

a + b + c - c - b - a  = 0.

 

Questo significa che la nostra equazione è divisibile per il binomio (x - 1).

 

Ora osserviamo che il polinomio si annulla anche se 

x = - 1.

ax6 + bx5 + cx4- cx2 - bx - a  = 0

a(-1)6 + b(-1)5 + c(-1)4 - c (-1)2 - b(-1) - a  = 0

a(1) + b(-1) + c(1) - c (+1) - b(-1) - a  = 0

a - b + c - c + b - a  = 0.

 

Questo significa che la nostra equazione è divisibile anche per il binomio

x + 1.

 

 

Quindi, applicando la regola di Ruffini, possiamo dividere il polinomio dato prima per (x-1) e poi per (x+1).

Procedendo in questo modo otterremo come quoziente una equazione reciproca di prima specie di quarto grado che chiameremo Q(x).

 

Pertanto per risolvere l'equazione di partenza è sufficiente risolvere l'equazione:

(x+1) (x -1) Q(x) = 0.

 

Per la legge di annullamento del prodotto se un prodotto è zero, almeno uno dei suoi fattori è zero.

 

Quindi si tratterà di risolvere tre equazioni:

x+1 = 0 che è un'equazione lineare la cui soluzione è x = -1

x-1 = 0 che è anch'essa un'equazione lineare la cui soluzione è x = +1

e

Q(x) = 0 che è un'equazione reciproca di prima specie di quarto grado.

 

 

Esempio:

2x6 +5x5 +2x4 -2x2 -5x -2  = 0.

 

Per prima cosa osserviamo che ci troviamo di fronte ad un'equazione reciproca di seconda specie:

2x6 +5x5 +2x4 -2x2 -5x -2  = 0.

 

Inoltre manca il termine equidistante dagli estremi (x3). 

 

Iniziamo col dividere l'equazione per x + 1 applicando la regola di Ruffini:

(2x6 +5x5 +2x4 -2x2 -5x -2) : (x+1).

 

Regola di Ruffini

 

Nel nostro esempio il dividendo non è un polinomio completo, infatti manca il termine x3: in questo caso bisogna ricordarsi di scrivere, al posto del coefficiente mancante, nella prima riga della tabella, uno ZERO.

Quindi possiamo scrivere:

(2x6 +5x5 +2x4 -2x2 -5x -2) : (x+1)  =

= 2x5 +3x4-x3+x2 -3x -2.

 

Ora dividiamo il quoziente ottenuto per (x-1). Ovvero:

(2x5 +3x4-x3+x2 -3x -2) : (x-1).

 

Regola di Ruffini

 

Quindi possiamo scrivere:

(2x5 +3x4-x3+x2 -3x -2) : (x-1)  =

= 2x4+5x3+4x2 +5x +2.

 

 

Di conseguenza la nostra equazione può essere scritta come:

(x+1) (x-1) (2x4+5x3+4x2 +5x +2) = 0.

 

Risolviamo e abbiamo:

 

x+1 = 0

x = -1

 

x - 1 = 0

x = 1

 

2x4+5x3+4x2 +5x +2 = 0

Risolviamo come le Equazioni reciproche di prima specie di quarto grado.

Dividiamo per x2:

2x4/x2+5x3/x2+4x2/x2 +5x/x2 +2/x2 = 0

2x2+5x+4 +5/x +2/x2 = 0.

 

Effettuiamo un raccoglimento a fattore comune parziale di 2 e 5:

2(x2+ 1/x2) + 5(x+ 1/x) + 4 = 0.

 

Sostituiamo (x2+ 1/x2) con (x + 1/x)2 - 2:

2[(x+ 1/x)2 - 2] + 5(x+ 1/x) + 4 = 0

2(x+ 1/x)2 - 4 + 5(x+ 1/x) + 4 = 0

2(x+ 1/x)2 + 5(x+ 1/x) + 4 - 4 = 0

2(x+ 1/x)2 + 5(x+ 1/x)  = 0.

 

Poniamo 

t = x + 1/x

e avremo:

2t2 + 5t = 0.

 

Quella che abbiamo è un'equazione di secondo grado spuria.

 

Mettiamo in evidenza la t:

t (2t + 5) = 0.

Da cui:

t = 0

2t = -5    cioè   t = -5/2.

 

Ora ricordiamo che:

t = x + 1/x

e sostituiamo la prima:

x + 1/x = 0

 

Equazioni reciproche

E' evidente che è impossibile trovare un valore di x che elevato al quadrato dà un risultato negativo (-1).

Ora sostituiamo la seconda:

x + 1/x = -5/2

Equazioni reciproche

 

 

 

Le soluzioni della nostra equazione, quindi, sono:

x = -1

x = +1

x = -2

x = -1/2.

 

 

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