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EQUAZIONI RECIPROCHE di PRIMA SPECIE di QUINTO GRADO

 

Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo visto come si risolvono le EQUAZIONI RECIPROCHE DI PRIMA SPECIE di TERZO GRADO. Ora occupiamoci di quelle di QUINTO GRADO.

L'equazione si presenta nella forma seguente:

 

ax5 + bx4 +cx3+ cx2 + bx + a  = 0.

 

Anche in questo caso, così come abbiamo detto per le equazioni reciproche di prima specie di terzo grado, intuitivamente  possiamo affermare che l'equazione ammette come radici 

x = -1.

Infatti:

a(-1)5 + b(-1)4 +c(-1)3+ c(-1)2 + b(-1) + a  = 0

a(-1) + b(+1) +c(-1) + c(+1) + b(-1) + a  = 0

- a + b - c + c - b + a  = 0.

 

 

Questo significa che la nostra equazione è divisibile per il binomio

x + 1.

 

Quindi, applicando la regola di Ruffini, eseguiamo la seguente divisione:

(ax5 + bx4 +cx3+ cx2 + bx + a) : (x + 1).

 

Procedendo in questo modo otteniamo come quoziente un polinomio di quarto grado.

Se, indichiamo con Q(x) il quoziente, possiamo scrivere il polinomio di partenza sotto forma del seguente prodotto:

ax5 + bx4 +cx3+ cx2 + bx + a  = (x+1) Q(x).

 

Per risolvere l'equazione di partenza è sufficiente risolvere l'equazione:

(x+1) Q(x) = 0.

 

Per la legge di annullamento del prodotto se un prodotto è zero, almeno uno dei suoi fattori è zero.

 

Quindi si tratterà di risolvere due equazioni:

x+1 = 0 che è un'equazione lineare la cui soluzione è x = -1

e

Q(x) = 0 che è un'equazione reciproca di prima specie di quarto grado (che si risolve come abbiamo appreso nella sesta lezione). Infatti avendo applicato la regola di Ruffini avremo abbassato di un grado il grado del polinomio.

 

Da quanto abbiamo detto è evidente che una delle radici delle EQUAZIONI RECIPROCHE DI PRIMA SPECIE DI QUINTO GRADO è sempre  

x = -1.

 

Esempio:

36x5 +180x4 -265x3 -265x2 +180x +36  = 0.

 

Per prima cosa osserviamo che ci troviamo di fronte ad un'equazione reciproca di prima specie:

36x5 +180x4 -265x3 -265x2 +180x +36  = 0.

 

Iniziamo col dividere l'equazione per x + 1 applicando la regola di Ruffini:

(36x5 +180x4 -265x3 -265x2 +180x +36) : (x+1).

 

Regola di Ruffini

 

Quindi possiamo scrivere:

(36x5 +180x4 -265x3 -265x2 +180x +36) : (x+1) =

= 36x4 +144x3 -409x2 +144x +36.

 

Di conseguenza la nostra equazione può essere scritta come:

(x+1) (36x4 +144x3 -409x2 +144x +36) = 0.

 

Risolviamo e abbiamo:

x+1 = 0

x = -1

e

36x4 +144x3 -409x2 +144x +36 = 0.

Questa seconda equazione si risolve iniziando a dividere entrambi i membri per x2.

36x2 +144x -409 +144/x +36/x2 = 0.

 

Mettiamo in evidenza 36 e 144:

36(x2+1/x2) + 144(x + 1/x)  -409 = 0.

Ora poniamo

x+1/x2 = (x + 1/x) -2

e abbiamo:

36[(x+1/x)2 -2] + 144(x + 1/x)  -409 = 0.

 

Eseguiamo le operazioni indicate:

36(x+1/x)2 -72 + 144(x + 1/x)  - 409 = 0

36(x+1/x)2 + 144(x + 1/x)  - 409 -72 = 0

36(x+1/x)2 + 144(x + 1/x)  - 481 = 0.

 

Poniamo

t = x + 1/x

e abbiamo

36t2 + 144t - 481 = 0.

Risolviamo

 

Equazioni reciproche di prima specie di terzo grado

 

Ora cerchiamo il valore di x ricordando che

t = x + 1/x.

Quindi:

Equazioni reciproche di prima specie

 

Ora passiamo ai valori di t = 13/6:

Equazioni reciproche di prima specie

 

Le soluzioni della nostra equazione sono:

x = -1

x = -6

x = -1/6

x = 3/2

x = 2/3.

 

 

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