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EQUAZIONI RECIPROCHE

 

Per comprendere  

 

L'equazione del tipo

anxn + an-1xn-1 +  an-2xn-2 + .... + a1x + a0  = 0.

 

si dice RECIPROCA quando:

  1. i COEFFICIENTI DEI TERMINI ESTREMI  e di quelli EQUIDISTANTI dagli estremi sono UGUALI;

 

  1. i COEFFICIENTI DEI TERMINI ESTREMI  e di quelli EQUIDISTANTI dagli estremi sono OPPOSTI.

In questo caso, se il GRADO dell'equazione è PARI, deve MANCARE IL TERMINE EQUIDISTANTE DAGLI ESTREMI.

 

 

Nel primo caso si parla di equazione RECIPROCA DI PRIMA SPECIE.

Nel secondo caso si parla di equazione RECIPROCA DI SECONDA SPECIE.

 

Quindi:

EQUAZIONE RECIPROCA DI PRIMA SPECIE

COEFFICIENTI DEI TERMINI ESTREMI  e di quelli EQUIDISTANTI dagli estremi UGUALI

 

Esempio:

+5x4 +x3 -6x2 +x +  = 0

 

 

EQUAZIONE RECIPROCA DI SECONDA SPECIE

COEFFICIENTI DEI TERMINI ESTREMI  e di quelli EQUIDISTANTI dagli estremi OPPOSTI.

Esempi:

 

grado DISPARI 

(n = 5)

 

 

3x5 +2x4 -8x3 +8x2  -2x -3  = 0 

grado PARI 

(n = 4)

 

3x4 +7x3 -7x -3  = 0 

manca il termine equidistante dagli estremi (x2)

 

 

Queste equazioni si dicono RECIPROCHE perché, se sono soddisfatte da 

x = α

(si legge x uguale alfa -

alfa è la prima lettera dell'alfabeto greco)

 

sono soddisfatte anche dal loro RECIPROCO o inverso ovvero da 

x = 1/α.

 

Immaginiamo di avere l'equazione

ax4 + bx3 + cx2 +bx + a  = 0.

 

Come possiamo notare essa è un'EQUAZIONE RECIPROCA.

Se α è una radice della nostra equazione significa che sostituendo α alla x l'equazione si annulla.

Quindi dovrà essere

aα4 + bα3 + cα2 +bα + a  = 0.

 

Affinché anche 1/α possa essere una soluzione dell'equazione è necessario che, anche sostituendo tale valore alla x, l'equazione si annulli. Effettuiamo tale sostituzione:

a(1/α)4 + b(1/α)3 + c(1/α)2 +b(1/α) + a.

 

Essa può essere scritta nel modo che segue:

 

Equazioni reciproche

 

Eseguiamo la somma e avremo:

 

Equazioni reciproche

 

Il numeratore della frazione è uguale a:

aα4 + bα3 + cα2 +bα + a 

solamente scritta con un ordine diverso.

 

Ma abbiamo detto che α annulla questa equazione e di conseguenza sarà nullo anche il numeratore della frazione:

Equazioni reciproche

 

Se il numeratore di una frazione è zero, la frazione è uguale a zero.

 

Ecco allora che abbiamo dimostrato che anche 1/α è una radice della nostra equazione.

 

Nelle lezioni successive vedremo come è possibile risolvere le EQUAZIONI RECIPROCHE DI PRIMA E DI SECONDA SPECIE.

 

Chiaramente anche un'equazione di secondo grado può essere reciproca. Ad esempio:

4x2 - 2x -4 = 0.

 

In questi casi, per risolvere l'equazione, usiamo come al solito la formula risolutiva.

 

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Indice argomenti su equazioni di grado superiore al secondo

 

Per comprendere

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