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EQUAZIONI RAZIONALI INTERE risolte mediante FATTORIZZAZIONE

 

Per comprendere  

 

Supponiamo di avere un'equazione del tipo

anxn + an-1xn-1 +  an-2xn-2 + .... + a1x + a0  = 0.

 

con

n > 2.

 

Una equazione di questo tipo può essere risolta se sappiamo eseguire la FATTORIZZAZIONE del primo membro

 

Esempio:

x4 - 5x3 - 15x2 + 5x + 14 = 0.

 

Applicando la REGOLA DI RUFFINI possiamo scrivere il primo membro come il prodotto di tre fattori, ovvero:

 

x4 - 5x3 - 15x2 + 5x + 14 = (x+1) (x-1) (x2 -5x -14).

 

In questo modo abbiamo scritto il polinomio come prodotto di tre fattori di cui, due sono polinomi di primo grado, e uno e un polinomio di secondo grado.

 

La nostra equazione quindi diventa:

(x+1) (x-1) (x2 -5x -14) = 0.

 

Per la LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO  se un prodotto è zero, uno almeno dei suoi fattori è zero.

Quindi per risolvere questa equazione è sufficiente vedere per quali valori di x i tre fattori si annullano. 

In pratica si tratta di risolvere tre equazioni:

x+1 = 0

x-1 = 0

x2 -5x -14 = 0.

 

Chiaramente siamo in grado di risolvere tutte e tre queste equazioni dato che, le prime due, sono delle equazioni lineari, mentre l'ultima è un'equazione di secondo grado completa.

Allora avremo:

PRIMA EQUAZIONE

x+1 = 0

x = -1.

 

SECONDA EQUAZIONE

x-1 = 0

x = +1.

 

TERZA EQUAZIONE

x2 -5x -14 = 0

Equazioni di grado n risolte mediante fattorizzazione

 

Quindi la nostra equazione ha le seguenti soluzioni:

x = -1

x = 1

x = -2

x = 7.

 

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