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EQUAZIONI FRAZIONARIE NUMERICHE

 

Per comprendere  

 

Dopo aver visto, nelle precedenti lezioni, come si risolvono le EQUAZIONI INTERE sia esse NUMERICHE che LETTERALI, ora ci occuperemo delle EQUAZIONI FRAZIONARIE.

Ricordiamo, ancora una volta che:

  • le EQUAZIONI INTERE sono quelle che NON contengono l'INCOGNITA a DENOMINATORE della frazione;

  • le EQUAZIONI FRATTE sono quelle che contengono l'INCOGNITA a DENOMINATORE della frazione.

 

In questa lezione ci occuperemo in particolare delle EQUAZIONI FRAZIONARIE NUMERICHE, cioè di quelle equazioni frazionarie che non contengono altre lettere oltre all'incognita.

Esempio:

 

 Questo tipo di equazioni si risolvono come le equazioni numeriche intere. Quindi:

  1. Si LIBERA l'equazione dai DENOMINATORI

  1. Si eseguono le eventuali POTENZE e i PRODOTTI indicati.

  1. Si PORTANO a PRIMO MEMBRO tutti i TERMINI CHE CONTENGONO L'INCOGNITA e si portano a SECONDO MEMBRO tutti i TERMINI NOTI.

  1. Si RIDUCONO i TERMINI SIMILI, cioè si sommano tra loro i termini che contengono le incognite e si sommano tra loro i termini noti.

  1. Una volta che l'equazione è RIDOTTA A FORMA NORMALE  non resta che DIVIDERE il TERMINE NOTO per il COEFFICIENTE dell'incognita.

 

Di queste fasi l'unica che presenta delle caratteristiche particolari è la prima.

Infatti, per LIBERARE l'equazione dai DENOMINATORI si deve moltiplicare ambedue i membri dell'equazione per una ESPRESSIONE CONTENENTE L'INCOGNITA.

 

Ora, il SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA ci dice che MOLTIPLICANDO o DIVIDENDO entrambi i membri di una equazione per uno STESSO NUMERO diverso da zero o per una STESSA ESPRESSIONE che non possa annullarsi, si ottiene una equazione EQUIVALENTE a quella data.

 

Quindi, quando moltiplichiamo i due termini dell'equazione per l'espressione contenente l'incognita è necessario che tale espressione non si annulli.

 

Ciò significa che, UNA VOLTA TROVATA LA RADICE dobbiamo VERIFICARE CHE QUESTA NON ANNULLI L'ESPRESSIONE per la quale abbiamo moltiplicato i due termini dell'equazione.

 

Cerchiamo di capire meglio questo concetto tornando all'esempio precedente. 

Per liberare l'equazione dai denominatori moltiplichiamo il primo e il secondo membro per il m.c.m. dei denominatori. Esso sarà:

(x+1) (x+2).

Questo prodotto deve essere, per quanto abbiamo detto in precedenza, diverso da zero.

Per la LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO un prodotto è uguale a zero quando uno dei due fattori è uguale a zero.

Quindi

(x+1) (x+2) = 0

quando

(x+1) = 0     ovvero x = -1

oppure quando

(x+2) = 0     ovvero x = -2.

 

Ora procediamo col risolvere la nostra espressione nei modi consueti:

 

Una volta trovata la radice dobbiamo verificare che essa non sia uno dei valori che annullano l'espressione per la quale abbiamo moltiplicato i due membri dell'equazione.

Poiché la soluzione trovata non è né -1, né -2, essa rappresenta la radice della nostra equazione.

 

Facciamo un altro esempio.

 

Per liberare l'equazione dai denominatori moltiplichiamo il primo e il secondo membro per il m.c.m. dei denominatori. Esso sarà:

(x+2) (x-2).

Questo prodotto deve essere, per quanto abbiamo detto in precedenza, diverso da zero.

Per la LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO un prodotto è uguale a zero quando uno dei due fattori è uguale a zero.

Quindi

(x+2) (x-2) = 0

quando

(x+2) = 0     ovvero x = -2

oppure quando

(x-2) = 0     ovvero x = +2.

 

Ora procediamo col risolvere la nostra equazione nei modi consueti

 

La radice trovata 2 è proprio uno dei valori che annullano l'espressione per la quale abbiamo moltiplicato i due membri dell'equazione.

Essa quindi rappresenta la soluzione dell'equazione

ma non dell'equazione di partenza.

Per verificarlo potete provare a sostituire 2 all'equazione data inizialmente.

 

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