SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA DELLE EQUAZIONI
- Identità ed equazioni
- Radici di una equazione
- Equazioni equivalenti
- Principi di equivalenza delle equazioni
- Primo principio di equivalenza delle equazioni
- Raccoglimento a fattor comune
- Moltiplicazione
In una delle precedenti lezioni abbiamo visto cosa dicono i due PRINCIPI DI EQUIVALENZA delle equazioni e nella lezione precedente ci siamo soffermati ad analizzare meglio il PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA.
Ora
parleremo, invece, del SECONDO PRINCIPIO DI
EQUIVALENZA.
Il
SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
afferma che MOLTIPLICANDO o DIVIDENDO
entrambi i membri di una equazione per uno STESSO
NUMERO diverso da zero o per una STESSA
ESPRESSIONE che non possa annullarsi, si ottiene una
equazione EQUIVALENTE a quella data.
Esempio:
supponiamo di avere la seguente equazione
A = B.
Dove abbiamo utilizzato A per indicare tutto ciò che è a primo membro della nostra equazione e B per indicare tutto ciò che si trova a secondo membro.
Ora moltiplichiamo, sia il primo che il secondo membro della nostra equazione, per N.
N potrà essere:
- un NUMERO
- una ESPRESSIONE CONTENENTE L'INCOGNITA.
Se si tratta di un numero esso non
deve essere lo zero, se di tratta di una espressione essa non
deve potersi annullare.
Avremo:
AN = BN.
L'espressione
A = B per il PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA può essere scritto anche come:
A - B = 0.
Infatti sappiamo che possiamo TRASPORTARE un TERMINE di un'equazione DA UN MEMBRO ALL'ALTRO CAMBIANDOGLI DI SEGNO.
Sempre per il primo principio di equivalenza, possiamo scrivere l'equazione
AN = BN
nella seguente forma:
AN - BN = 0.
Ora, mettendo in evidenza la N possiamo scrivere:
N (A - B) = 0.
Per la LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO questa equazione è uguale a zero quando uno dei due fattori è uguale a zero.
Però noi abbiamo posto come condizione che N sia diverso da zero, quindi affinché
N (A - B) = 0
è necessario che
A - B = 0.
Pertanto ogni soluzione di
A - B = 0
e anche soluzione di
N (A - B) = 0
e viceversa.
Vediamo un esempio:
-2x = -2.
E' intuitivo comprendere che la radice è 1.
Ora moltiplichiamo il primo e il secondo membro per -1. Avremo:
(-2x) (-1) = (-2) (-1).
Cioè:
+2x = +2.
Anche qui, intuiamo facilmente che la radice
è di nuovo 1.
La prima conseguenza, che dunque, possiamo trarre dal SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA è che possiamo CAMBIARE I SEGNI A TUTTI I TERMINI DI UN'EQUAZIONE e ottenere una equazione equivalente a quella data.
Infatti, scrivere:
-2x = -2
moltiplicare entrambi i membri dell'equazione per -1
(-2x) (-1) = (-2) (-1).
in modo da avere
+2x = +2
equivale a cambiare di segno ad entrambi i termini dell'equazione.
Vediamo ora un altro esempio:
2x + 4 = 6.
E' intuitivo comprendere che la radice è 1.
Ora dividiamo il primo e il secondo membro per 2. Avremo:
(2x + 4)/2 = 6/2.
Cioè:
2x/2 + 4/2 = 6/2.
Ovvero:
x + 2 = 3.
La radice è sempre
1.
Un'altra conseguenza che, possiamo trarre dal SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA è che, se tutti i termini di un'equazione hanno un FATTORE COMUNE diverso da zero, DIVIDENDO per tale numero si ottiene una equazione equivalente a quella data.
Tale regola è utile per risolvere equazioni del tipo:
ax = b
dato, dividendo entrambi i termini per a, si ha:
x = b/a.
Vediamo un ultimo esempio:
x/8 = 2.
La radice è 16.
Ora moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per 8. Avremo:
8 (x/8) = 8 (2).
x = 16.
Abbiamo, quindi, trovato un'altra conseguenza che discende dal SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA. Se MOLTIPLICHIAMO entrambi i membri di un'equazione per un numero o per una espressione conveniente otteniamo una equazione equivalente a quella data.
Tale regola è utile per risolvere equazioni del tipo:
x/a = b
dato che sarà moltiplicando entrambi i termini per a si ha:
x = b (a).
