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SECONDO PRINCIPIO di EQUIVALENZA delle EQUAZIONI

 

Per comprendere  

 

In una delle precedenti lezioni abbiamo visto cosa dicono i due PRINCIPI DI EQUIVALENZA delle equazioni e nella lezione precedente ci siamo soffermati ad analizzare meglio il PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA.

 

Ora parleremo, invece, del SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA.

 

Il SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA afferma che MOLTIPLICANDO o DIVIDENDO entrambi i membri di una equazione per uno STESSO NUMERO diverso da zero o per una STESSA ESPRESSIONE che non possa annullarsi, si ottiene una equazione EQUIVALENTE a quella data.

 

Esempio:

supponiamo di avere la seguente equazione

A = B.

Dove abbiamo utilizzato A per indicare tutto ciò che è a primo membro della nostra equazione e B per indicare tutto ciò che si trova a secondo membro.

 

Ora moltiplichiamo, sia il primo che il secondo membro della nostra equazione, per N.

 

N potrà essere:

  • un NUMERO 

oppure

  • una ESPRESSIONE CONTENENTE L'INCOGNITA.

Se si tratta di un numero esso non deve essere lo zero, se di tratta di una espressione essa non deve potersi annullare.

 

Avremo:

AN = BN.

 

L'espressione 

A = B

per il PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA può essere scritto anche come:

A - B = 0.

Infatti sappiamo che possiamo TRASPORTARE un TERMINE di un'equazione DA UN MEMBRO ALL'ALTRO CAMBIANDOGLI DI SEGNO.

 

Sempre per il primo principio di equivalenza, possiamo scrivere l'equazione 

AN = BN

nella seguente forma:

AN - BN = 0.

 

Ora, mettendo in evidenza la N possiamo scrivere:

N (A - B) = 0.

 

Per la LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO questa equazione è uguale a zero quando uno dei due fattori è uguale a zero.

Però noi abbiamo posto come condizione che N sia diverso da zero, quindi affinché

N (A - B) = 0

è necessario che 

A - B = 0.

Pertanto ogni soluzione di 

A - B = 0

e anche soluzione di 

N (A - B) = 0

e viceversa.

 

Vediamo un esempio:

-2x = -2.

E' intuitivo comprendere che la radice è 1.

 

Ora moltiplichiamo il primo e il secondo membro per -1. Avremo:

(-2x) (-1) = (-2) (-1).

Cioè:

+2x = +2.

Anche qui, intuiamo facilmente che la radice è di nuovo 1

 

La prima conseguenza, che dunque, possiamo trarre dal SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA è che possiamo CAMBIARE I SEGNI A TUTTI I TERMINI DI UN'EQUAZIONE e ottenere una equazione equivalente a quella data.

Infatti, scrivere:

-2x = -2

moltiplicare entrambi i membri dell'equazione per -1

(-2x) (-1) = (-2) (-1).

in modo da avere

+2x = +2

equivale a cambiare di segno ad entrambi i termini dell'equazione.

 

 

 

Vediamo ora un altro esempio:

2x + 4 = 6.

E' intuitivo comprendere che la radice è 1.

 

Ora dividiamo il primo e il secondo membro per 2. Avremo:

(2x + 4)/2 = 6/2.

Cioè:

2x/2 + 4/2 = 6/2.

Ovvero:

x + 2  = 3.

La radice è sempre 1

 

Un'altra conseguenza che, possiamo trarre dal SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA è che, se  tutti i termini di un'equazione hanno un FATTORE COMUNE diverso da zero, DIVIDENDO per tale numero si ottiene una equazione equivalente a quella data.

 

Tale regola è utile per risolvere equazioni del tipo:

ax = b

dato, dividendo entrambi i termini per a, si ha:

x = b/a.

 

Vediamo un ultimo esempio:

x/8 = 2.

La radice è 16.

Ora moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per 8. Avremo:

8 (x/8) = 8 (2).

x = 16.

 

Abbiamo, quindi, trovato un'altra conseguenza che discende dal SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA.  Se MOLTIPLICHIAMO entrambi i membri di un'equazione per un numero o per una espressione conveniente otteniamo una equazione equivalente a quella data.

 

Tale regola è utile per risolvere equazioni del tipo:

x/a = b

dato che sarà moltiplicando entrambi i termini per a si ha:

x = b (a).

 

 

 

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