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Finora ci siamo occupati della soluzione
delle EQUAZIONI INTERE NUMERICHE,
cioè di quelle equazioni che, oltre alle incognite, contengono SOLAMENTE
NUMERI.
Come però abbiamo detto in una precedente
lezione una equazione, oltre alle incognite, può contenere delle ALTRE
LETTERE: esse vengono considerate come dei NUMERI
FISSI e prendono il nome di COSTATI.
Queste equazioni sono dette EQUAZIONI
LETTERALI.
Un esempio di equazione intera letterale potrebbe
essere:
ax +
b = c.
La nostra INCOGNITA
è la x;
mentre le lettere a,
b, c sono considerate delle COSTANTI,
cioè dei TERMINI NOTI.
Vediamo, allora, come si risolvono le equazioni
letterali.
Le regole per
risolvere questo tipo di equazioni sono le stesse che abbiamo visto
parlando delle equazioni numeriche.
Tuttavia bisogna tener presente che trasformando una
equazione in un'altra equivalente occorre
fare attenzione ad alcune condizioni da porre affinché l'equazione sia
valida.
Cerchiamo di comprendere meglio questo concetto
tornando al nostro esempio:
ax +
b = c.
Applicando il primo
principio di equivalenza trasportiamo la b
a secondo membro cambiandogli di segno. Avremo:
ax =
c - b.
Applicando il secondo
principio di equivalenza dividiamo entrambi i membri per a.
Avremo:
x =
(c - b)/ a.
Affinché la nostra equazione sia DETERMINATA
è necessario che a sia diverso
da zero.
Quindi:
se
a
≠ 0
l'equazione è determinata è la radice
è
(c -
b)/ a.
Vediamo, però, cosa succede se
a =
0.
La nostra equazione diventerebbe:
x =
(c - b)/ 0.
Ora:
-
se
c =
b
l'equazione assumerebbe la forma
x =
0/ 0
e quindi sarebbe
INDETERMINATA;
-
se
c ≠
b
l'equazione sarebbe IMPOSSIBILE
perché staremmo cercando un valore x
che moltiplicato per zero dà un numero diverso da zero.
Ricapitolando la soluzione della nostra
equazione è la seguente:
| Equazione:
ax = c - b
|
| Se a
≠ 0
|
Equazione
DETERMINATA - Radice:
c-b/a |
| Se a = 0
e
c = b
|
Equazione
INDETERMINATA |
| Se a = 0
e
c ≠ b
|
Equazione
IMPOSSIBILE |
Ovviamente la discussione dei risultati
ottenuti può variare da un'equazione all'altra.
Per chiarire i concetti esposti vediamo
un altro esempio:
ax -
b = 2x + 1.
Applicando il primo
principio di equivalenza trasportiamo -b
a secondo membro cambiandogli di segno e 2x
a primo membro cambiandogli di segno. Avremo:
ax -
2x = 1 + b.
Ora, a primo membro, mettiamo in
evidenza la x. Avremo:
x (a
- 2) = 1 + b.
Applicando il secondo
principio di equivalenza dividiamo entrambi i membri per a
- 2. Avremo:
x =
(1 + b)/(a - 2).
Affinché la nostra equazione sia DETERMINATA
è necessario che a sia diverso
da due.
Quindi:
se
a
≠ 2
l'equazione è determinata è la radice
è
(1 +
b)/ (a - 2).
Vediamo, però, cosa succede se
a =
2.
La nostra equazione diventerebbe:
x =
(1 + b)/ 0.
Ora:
-
se
b =
-1
l'equazione assumerebbe la forma
x =
0/ 0
e quindi sarebbe
INDETERMINATA;
-
se
b ≠
-1
l'equazione sarebbe IMPOSSIBILE
perché staremmo cercando un valore x
che moltiplicato per zero dà un numero diverso da zero.
Ricapitolando la soluzione della nostra
equazione è la seguente:
| Equazione:
ax - b = 2x + 1
|
| Se a
≠ 0
|
Equazione
DETERMINATA - Radice:
(1+b)/ (a-2) |
| Se a = 0
e
b = -1
|
Equazione
INDETERMINATA |
| Se a = 0
e
b ≠-1
|
Equazione
IMPOSSIBILE |
Lezione
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successiva
Indice
argomenti su equazioni di primo grado ad una incognita
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