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Equazione della CIRCONFERENZA: casi particolari

 



Per comprendere  

 

Nella tabella sottostante ricapitoliamo quei casi particolari nei quali l'EQUAZIONE della CIRCONFERENZA è INCOMPLETA e che abbiamo spiegato diffusamente nelle lezioni precedenti.

 

Circonferenza con centro sull'asse delle y a = 0

x2 + y2 + by + c = 0

 

Circonferenza con centro sull'asse delle x b = 0

x2 + y2 + ax + c = 0

 
Circonferenza passante per l'origine degli assi c = 0

x2 + y2 + ax + by = 0

 
Circonferenza con centro sull'asse delle y e passante per l'origine degli assi

 

a = 0

c = 0

x2 + y2 + by = 0

 
Circonferenza con centro sull'asse delle x e passante per l'origine degli assi b = 0

c = 0

x2 + y2 + ax = 0

 
Circonferenza con centro nell'origine degli assi a = 0

b = 0

x2 + y2 + c = 0 

x2 + y2 = r2

 

 

Queste formule possono essere utili nel risolvere alcuni esercizi. Ad esempio, quando si possono applicare le formule incomplete non c'è bisogno di trovare tre parametri (a, b, c) per scrivere l'equazione della circonferenza, ma ne sono sufficienti due o addirittura uno soltanto.

 

Esempio:

scrivere l'equazione della circonferenza con centro sull'asse delle y e passante per i punti A (4; 3) e B(0; -1).

 

Normalmente abbiamo bisogno di conoscere tre punti per i quali passa la circonferenza per poterne scrivere l'equazione, in quanto dobbiamo trovare tre paramenti (a, b, c) e quindi abbiamo bisogno di impostare un sistema di 3 equazioni in tre incognite. 

In questo caso, però, sappiamo che la circonferenza ha centro sull'asse delle y, quindi sappiamo che

a = 0.

Quindi dobbiamo trovare solo due parametri (b, c) e quindi e sufficiente conoscere due punti per i quali passa la circonferenza poiché dobbiamo impostare un sistema di 2 equazioni in due incognite.

 

L'equazione da applicare è

x2 + y2 + by + c = 0.

 

Quando la circonferenza passa per il punto A, la sua equazione diventa

 42 + 32 + 3b + c = 0

16 + 9 + 3b + c = 0.

 

Quando la circonferenza passa per il punto B, la sua equazione diventa

 02 + (-1)2 - b + c = 0

1 - b + c = 0.

 

Mettiamo a sistema le due equazioni 

Equazione della circonferenza passante per due punti

Risolvendo troveremo che 

b = - 6

c = 7.

 

Quindi l'equazione della circonferenza è

x2 + y2 - 6y + 7 = 0.

 

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