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PROPRIETA' dei POLIGONI SIMILI

 

 



Per comprendere  

 

Disegniamo due POLIGONI SIMILI il cui RAPPORTO DI SIMILITUDINE sia 1/2.

 

Poligoni simili

 

Le misure dei lati dei due poligoni sono le seguenti:

  AB = 1,9 cm A'B' = 3,8 cm
BC = 2,0 cm B'C' = 4,0 cm
DC = 2,7 cm D'C' = 5,4 cm
AD = 1,8 cm A'D' = 3,6 cm
Perimetro   P = 8,4 cm    P' = 16,8 cm

 

Come possiamo notare, il RAPPORTO DI SIMILITUDINE di 1/2 si mantiene uguale anche per i perimetri, infatti:

P/ P' = 8,4/ 16,8 = 1/2.

 

 

Ora misuriamo le DIAGONALI dei due poligoni:

AC = 3,3 cm A'C' = 6,6 cm
BD = 2,5 cm B'D' = 5,0 cm

Come possiamo notare il RAPPORTO DI SIMILITUDINE tra le diagonali è ancora 1/2.

 

 

Nel nostro esempio abbiamo disegnato due trapezi simili. Ma il discorso che abbiamo fatto è valido per ogni coppia di poligoni simili e per tutti i segmenti corrispondenti che possiamo disegnare: ALTEZZE, MEDIANE, BARICENTRI, APOTEMI, ecc..

Noteremo che il RAPPORTO DI SIMILITUDINE rimane sempre lo stesso.

 

Ora passiamo a considerare l'AREA dei due poligoni. 

Ricordiamo che l'area del trapezio si calcola applicando la formula:

Area del trapezio

 

Applichiamo la formula:

  b1 = DC = 2,7 cm b1 = D'C' = 5,4 cm
b2 = AB = 1,9 cm b2 = A'B' = 3,8 cm
h = AD = 1,8 cm h = A'D' = 3,6 cm
Area A =  4,14 cm2  A' = 16,56 cm2

 

Ora calcoliamo il rapporto tra le due aree. Avremo:

A/ A' = 4,14/ 16,56 = 1/4.

 

Confrontiamo questo rapporto con il RAPPORTO DI SIMILITUDINE che è pari ad 1/2 e notiamo che il rapporto tra le AREE è uguale al QUADRATO del RAPPORTO DI SIMILITUDINE. Infatti:

A/ A' =  1/4

Rapporto similitudine = 1/2

1/4 = (1/2)2.

Ancora una volta il discorso appena fatto, non vale solo per i trapezi simili, ma per ogni coppia di poligoni simili.

 

 

Concludendo possiamo affermare che, in due POLIGONI SIMILI:

  • il RAPPORTO tra i PERIMETRI è uguale al RAPPORTO DI SIMILITUDINE;

 

  • il RAPPORTO tra due qualsiasi segmenti corrispondenti (altezze, diagonali, mediante, baricentri, apotema, ecc..) è uguale al RAPPORTO DI SIMILITUDINE;

 

  • il RAPPORTO tra le AREE è uguale al QUADRATO del RAPPORTO DI SIMILITUDINE.

 

 

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