PROPRIETA' DEI POLIGONI SIMILI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Disegniamo due POLIGONI SIMILI il cui RAPPORTO DI SIMILITUDINE sia 1/2.



Poligoni simili



Le misure dei lati dei due poligoni sono le seguenti:

FIGURA ABCD FIGURA A'B'C'D'
AB = 1,9 cm A'B' = 3,8 cm
BC = 2,0 cm B'C' = 4,0 cm
DC = 2,7 cm D'C' = 5,4 cm
AD = 1,8 cm A'D' = 3,6 cm
P = 8,4 cm P' = 8,4 cm


Come possiamo notare, il RAPPORTO DI SIMILITUDINE di 1/2 si mantiene uguale anche per i perimetri P e P', infatti:

P/ P' = 8,4/ 16,8 = 1/2.





Ora misuriamo le DIAGONALI dei due poligoni:

FIGURA ABCD FIGURA A'B'C'D'
AC = 3,3 cm A'C' = 6,6 cm
BD = 2,5 cm B'D' = 5,0 cm


Come possiamo notare il RAPPORTO DI SIMILITUDINE tra le diagonali è ancora 1/2.



Nel nostro esempio abbiamo disegnato due trapezi simili. Ma il discorso che abbiamo fatto è valido per ogni coppia di poligoni simili e per tutti i segmenti corrispondenti che possiamo disegnare: ALTEZZE, MEDIANE, BARICENTRI, APOTEMI, ecc..

Noteremo che il RAPPORTO DI SIMILITUDINE rimane sempre lo stesso.





Ora passiamo a considerare l'AREA dei due poligoni.

Ricordiamo che l'area del trapezio si calcola applicando la formula:

Area del trapezio

Applichiamo la formula:

FIGURA ABCD FIGURA A'B'C'D'
b1 = DC = 2,7 cm b1 = D'C' = 5,4 cm
b2 = AB = 1,9 cm b2 = A'B' = 3,8 cm
h = AD = 1,8 cm h = A'D' = 3,6 cm
A = 4,14 cm2 A' = 16,56 cm2


Ora calcoliamo il rapporto tra le due aree. Avremo:

A/ A' = 4,14/ 16,56 = 1/4.



Confrontiamo questo rapporto con il RAPPORTO DI SIMILITUDINE che è pari ad 1/2 e notiamo che il rapporto tra le AREE è uguale al QUADRATO del RAPPORTO DI SIMILITUDINE. Infatti:

A/ A' = 1/4

Rapporto similitudine = 1/2

1/4 = (1/2)2.

Ancora una volta il discorso appena fatto, non vale solo per i trapezi simili, ma per ogni coppia di poligoni simili.



Concludendo possiamo affermare che, in due POLIGONI SIMILI:

  • il RAPPORTO tra i PERIMETRI è uguale al RAPPORTO DI SIMILITUDINE;
  • il RAPPORTO tra due qualsiasi segmenti corrispondenti (altezze, diagonali, mediante, baricentri, apotema, ecc..) è uguale al RAPPORTO DI SIMILITUDINE;
  • il RAPPORTO tra le AREE è uguale al QUADRATO del RAPPORTO DI SIMILITUDINE.

 
 
 
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