TRIANGOLO EQUILATERO INSCRITTO E CIRCOSCRITTO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Dopo aver visto, nella lezione precedente, come si costruisce un triangolo equilatero ora facciamo alcune osservazioni sul TRIANGOLO EQUILATERO INSCRITTO e CIRCOSCRITTO a una circonferenza.

Ora disegniamo il triangolo equilatero ABC, la circonferenza circoscritta al triangolo (in verde) e quella inscritta ad esso (in nero):

Triangolo equilatero inscritto e circoscritto



Dallo studio dei triangoli abbiamo appreso che in un TRIANGOLO EQUILATERO BISETTRICE, MEDIANA, ALTEZZA e ASSE COINCIDONO in un unico segmento che nell'immagine sottostante abbiamo indicato con AH:

Triangolo equilatero inscritto e circoscritto



Inoltre sappiamo anche che l'INCENTRO, il BARICENTRO, l'ORTOCENTRO e il CIRCOCENTRO COINCIDONO in un UNICO PUNTO che prende il nome di CENTRO del TRIANGOLO EQUILATERO.

Affinché un poligono sia inscrittibile in un circonferenza è necessario che il suo circocentro sia unico e coincida con il centro della circonferenza. Mentre affinché un poligono sia circoscrittibile a una circonferenza è necessario che il suo incentro sia unico e coincida con il centro della circonferenza.

Ora dato che il triangolo è inscritto e circoscritto ad una circonferenza significa che il suo circocentro e il suo incentro coincidono con il centro della circonferenza, quindi il CENTRO DEL TRIANGOLO COINCIDE con il CENTRO DELLA CIRCONFERENZA che nell'immagine è indicata con O.



Torniamo al segmento AH:

Apotema del triangolo equilatero



Abbiamo detto che esso rappresenta anche la MEDIANA del triangolo ABC relativa al lato BC.

O è il BARICENTRO che sappiamo divide laMEDIANA inDUE PARTI che sonoUNA DOPPIA DELL'ALTRA.

Quindi possiamo dire che il segmento AO è doppio rispetto al segmento O H. Ovvero

AO = 2OH.



Osserviamo che il segmento AO non è altro che il RAGGIO della circonferenza circoscritta al triangolo, cioè della circonferenza indicata in verde. Quindi possiamo sostituire r (raggio) ad AO.

Al tempo stesso il segmento OH non è altro che l'APOTEMA del triangolo. Quindi possiamo sostituire a (apotema) ad OH.

Quindi

AO = 2OH

si può scrivere come

r = 2a

che si legge

raggio uguale 2 volte l'apotema.



Quindi possiamo concludere dicendo che nel triangolo equilatero inscritto in una circonferenza il RAGGIO della circonferenza CIRCOSCRITTA è il DOPPIO dell'APOTEMA. Oppure potremmo dire che l'apotema è la metà del raggio.



Ora osserviamo il RAGGIO della circonferenza INSCRITTA (cioè la circonferenza disegnata in nero): esso coincide esattamente con l'APOTEMA del triangolo.

Poiché

AO = 2OH

possiamo dire che il RAGGIO della circonferenza INSCRITTA è uguale alla TERZA PARTE della mediana del triangolo e, poiché la mediana e l'altezza coincidono, è uguale alla terza parte dell'ALTEZZA.

Infatti l'altezza (che chiamiamo h) è uguale a

h = AO + OH

ma poiché

AO = 2OH

possiamo scrivere che l'altezza

h = 2OH + OH

cioè

h = 3OH.

 
 
 
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