TRIANGOLO EQUILATERO INSCRITTO E CIRCOSCRITTO
- Costruzione di un triangolo equilatero
- Triangolo equilatero
- Poligoni inscritti
- Poligoni circoscritti
- Elementi e punti notevoli del triangolo equilatero
- Bisettrici
- Mediane
- Altezze di un triangolo
- Assi dei lati di un triangolo
- Apotema di un poligono
Dopo aver visto, nella lezione precedente, come si costruisce un triangolo equilatero ora facciamo alcune osservazioni sul TRIANGOLO EQUILATERO INSCRITTO e CIRCOSCRITTO a una circonferenza.
Ora disegniamo il triangolo equilatero ABC, la circonferenza circoscritta al triangolo (in verde) e quella inscritta ad esso (in nero):
Dallo studio dei triangoli abbiamo appreso che in un TRIANGOLO EQUILATERO BISETTRICE, MEDIANA, ALTEZZA e ASSE COINCIDONO in un unico segmento che nell'immagine sottostante abbiamo indicato con AH:
Inoltre sappiamo anche che l'INCENTRO, il BARICENTRO, l'ORTOCENTRO e il CIRCOCENTRO COINCIDONO in un UNICO PUNTO che prende il nome di CENTRO del TRIANGOLO EQUILATERO.
Affinché un poligono sia inscrittibile in un circonferenza è necessario che il suo circocentro sia unico e coincida con il centro della circonferenza. Mentre affinché un poligono sia circoscrittibile a una circonferenza è necessario che il suo incentro sia unico e coincida con il centro della circonferenza.
Ora dato che il triangolo è inscritto e circoscritto ad una circonferenza significa che il suo circocentro e il suo incentro coincidono con il centro della circonferenza, quindi il CENTRO DEL TRIANGOLO COINCIDE con il CENTRO DELLA CIRCONFERENZA che nell'immagine è indicata con O.
Torniamo al segmento AH:
Abbiamo detto che esso rappresenta anche la MEDIANA del triangolo ABC relativa al lato BC.
O è il BARICENTRO che sappiamo divide laMEDIANA inDUE PARTI che sonoUNA DOPPIA DELL'ALTRA.
Quindi possiamo dire che il segmento AO è doppio rispetto al segmento O H. Ovvero
AO = 2OH.
Osserviamo che il segmento AO non è altro che il RAGGIO della circonferenza circoscritta al triangolo, cioè della circonferenza indicata in verde. Quindi possiamo sostituire r (raggio) ad AO.
Al tempo stesso il segmento OH non è altro che l'APOTEMA del triangolo. Quindi possiamo sostituire a (apotema) ad OH.
Quindi
AO = 2OH
si può scrivere come
r = 2a
che si legge
raggio uguale 2 volte l'apotema.
Quindi possiamo concludere dicendo che nel triangolo equilatero inscritto in una circonferenza il RAGGIO della circonferenza CIRCOSCRITTA è il DOPPIO dell'APOTEMA. Oppure potremmo dire che l'apotema è la metà del raggio.
Ora osserviamo il RAGGIO della circonferenza INSCRITTA (cioè la circonferenza disegnata in nero): esso coincide esattamente con l'APOTEMA del triangolo.
Poiché
AO = 2OH
possiamo dire che il RAGGIO della circonferenza INSCRITTA è uguale alla TERZA PARTE della mediana del triangolo e, poiché la mediana e l'altezza coincidono, è uguale alla terza parte dell'ALTEZZA.
Infatti l'altezza (che chiamiamo h) è uguale a
h = AO + OH
ma poiché
AO = 2OH
possiamo scrivere che l'altezza
h = 2OH + OH
cioè
h = 3OH.
