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SECONDO TEOREMA di LAPLACE

 

Per comprendere  

 

Dopo aver visto, nelle lezioni precedenti, il primo teorema di Laplace, ora parleremo del SECONDO TEOREMA DI LAPLACE.

 

Esso afferma che 

  • la SOMMA dei PRODOTTI degli ELEMENTI di una RIGA o di una COLONNA 

  • per i COMPLEMENTI ALGEBRICI degli ELEMENTI CORRISPONDENTI di un'ALTRA RIGA o COLONNA

  • è uguale a ZERO.

 

Vediamo cosa significa quanto detto con un esempio.

Esempio.

Consideriamo la matrice A:

Secondo teorema di Laplace

 

Ora scegliamo una riga o una colonna qualsiasi, ad esempio la seconda riga.

Secondo teorema di Laplace

 

Ora scegliamo un'altra riga qualsiasi, ad esempio la terza.

Secondo teorema di Laplace

 

E moltiplichiamo ogni elemento della seconda riga per il complemento algebrico del corrispondente elemento della terza colonna.

 

Secondo teorema di Laplace

 

Quindi:

  • moltiplichiamo 1 per il complemento algebrico di 9;

  • moltiplichiamo 2 per il complemento algebrico di 0;

  • moltiplichiamo -1 per il complemento algebrico di 4;

  • ed infine sommiamo i risultati ottenuti.

 

Avremo:

 1 · (-1)3+1 · M31 + 2 · (-1)3+2 · M32 + -1 · (-1)3+3 · M33.  

 

Calcoliamo i complementi algebrici ed avremo:

Secondo teorema di Laplace

 = 1 · 1 · [3·(-1) - (5· 2)] + 2 · (-1) · [2·(-1) - (5· 1)] + (-1) · 1 · [(2·2) - (3· 1)] =

= 1 · 1 · (-13) + 2 · (-1) · (-7) + (-1) · 1 · 1 =

= -13 + 14  -1 = 0.

 

Come possiamo vedere il risultato ottenuto è ZERO.

 

 

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