MINORE COMPLEMENTARE
- Matrice
- Matrice quadrata
- Determinante di una matrice quadrata
- Calcolo del determinante di una matrice di ordine 2
- Sottomatrice
- Sottomatrici principali
- Sottomatrice principale di testa
Nelle lezioni precedenti abbiamo detto che:
- chiamiamo SOTTOMATRICE di A una matrice che si ottiene ELIMINANDO da A alcune RIGHE e/o COLONNE. Possiamo estrarre delle sottomatrici sia da una matrice quadrata che da una matrice non quadrata;
- il termine MINORE si usa quando ci troviamo di fronte ad una SOTTOMATRICE QUADRATA.
Ora introduciamo il concetto di MINORE COMPLEMENTARE.
Consideriamo una MATRICE A QUADRATA, si dice MINORE COMPLEMENTARE di un suo elemento aij, il DETERMINANTE della SOTTOMATRICE che si ottiene da A eliminando la riga i-esima e la colonna j-esima.
E' importante sottolineare che il MINORE COMPLEMENTARE è definito solamente per MATRICI QUADRATE. Infatti, essendo il minore una sottomatrice quadrata di una matrice data, togliendo da una matrice una riga e una colonna, otteniamo una sottomatrice quadrata solamente se la matrice di partenza è quadrata.
Il MINORE COMPLEMENTARE di aij lo indichiamo con Mij. Esso può essere indicato anche con Aij.
Esempio.
Consideriamo la matrice quadrata A:
Ora prendiamo l'elemento a12 ovvero l'elemento che occupa la prima riga e la seconda colonna. Esso è l'elemento 2:
ed eliminiamo dalla matrice A la prima riga e la seconda colonna.
Ora calcoliamo il minore complementare M12, ovvero il determinante della sottomatrice che abbiamo ottenuto dalla matrice A eliminando la prima riga e la seconda colonna.
= [4 x 5] - [1 x (-1)] =
= 20 - (-1) =
= 20 + 1 = 21.
Quindi 21 è il minore complementare di a12.
Vediamo un altro esempio.
Consideriamo sempre la matrice quadrata A:
Ora prendiamo l'elemento a31 ovvero l'elemento che occupa la terza riga e la prima colonna. Esso è l'elemento -1:
ed eliminiamo dalla matrice A la terza riga e la prima colonna.
Ora calcoliamo il minore complementare M31, ovvero il determinante della sottomatrice che abbiamo ottenuto dalla matrice A eliminando la terza riga e la prima colonna.
= [2 x 1] - [0 x 7] =
= 2 - 0 = 2.
Quindi 2 è il minore complementare di a31.
