PRIMO TEOREMA DI LAPLACE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come è possibile calcolare il DETERMINANTE di una MATRICE QUADRATA di primo, di secondo e di terzo ordine.

In questa lezione vedremo una regola che ci permetterà di calcolare il DETERMINANTE di una MATRICE QUADRATA di ordine n con

n maggiore uguale a 3

che si legge

n maggiore uguale a tre.



Quindi, la regola che vedremo, ci permetterà di trovare il determinante di una matrice quadrata di ordine UGUALE o SUPERIORE a 3.



Il DETERMINANTE associato alla matrice quadrata A si può calcolare come SOMMA dei PRODOTTI degli ELEMENTI di una RIGA o di una COLONNA per i RISPETTIVI COMPLEMENTI ALGEBRICI.



Esempio.

Consideriamo la matrice A di ordine 3:

Matrice A



Ora scegliamo una riga o una colonna della matrice a nostro piacere: scegliamo, ad esempio, la seconda riga.

Primo teorema di Laplace



Ora calcoliamo il prodotto degli elementi della seconda riga per i rispettivi complementi algebrici e li sommiamo tra loro.

Avremo:

  • iniziamo dal primo elemento della seconda riga, 2. Seconda riga, prima colonna, quindi si tratta dell'elemento a21;
  • calcoliamo il prodotto di tale elemento per il suo complemento algebrico

2 · (-1)2+1· M21

Complemento algebrico

Complemento algebrico

2 · (-1)2+1 · (3·6 - 5·3) =

= 2 · (-1)3 · (18 - 15) =

= 2 · (-1)· 3 =

= -6.



  • Ora passiamo al secondo elemento della seconda riga, 1. Seconda riga, seconda colonna, quindi si tratta dell'elemento a22;
  • calcoliamo il prodotto di tale elemento per il suo complemento algebrico

    1 · (-1)2+2 · M22

    Complemento algebrico

    Complemento algebrico



    1 · (-1)2+2 · (1·6 - 5·1) =

    = 1 · (-1)4 · (6 - 5) =

    = 1 · 1 · 1 =

    = 1.

  • Continuiamo con l'ultimo elemento della seconda riga 4. Seconda riga, terza colonna, quindi si tratta dell'elemento a23;
  • calcoliamo il prodotto di tale elemento per il suo complemento algebrico

    4 · (-1)2+3 · M23

    Complemento algebrico

    Complemento algebrico

    4 · (-1)2+3 · (1·3 - 3·1) =

    = 4 · (-1)5 · (3 - 3) =

    = 4 · (-1) · 0 =

    = 0.


Ora sommiamo i tre valori ottenuti ed avremo:

-6 + 1 + 0 = -5.



Il determinante della nostra matrice è -5.



La regola che abbiamo appena illustrata prende il nome di PRIMO TEOREMA DI LAPLACE.



Nella prossima lezione vedremo un altro esempio di applicazione del primo teorema di Laplace.

 
 
 
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