PROPRIETA' DELLA DIFFERNZA DI DUE INSIEMI
- Nozione di insieme
- Differenza di due insiemi
- Differenza di un insieme con l'insieme vuoto
- Differenza di un insieme con se stesso
- Proprietà della differenza di due insiemi
- Insieme vuoto
- Sottoinsiemi di un insieme
- Sottoinsiemi propri e impropri
- Unione di due insiemi
- Intersezione di due insiemi
- Insiemi disgiunti
- Implicazione logica
Sappiamo che dati due insiemi A e B, si chiama DIFFERENZA di A e B l'insieme C degli ELEMENTI che APPARTENGONO ad A e che NON APPARTENGONO a B.
In simboli scriveremo:
C = A - B
che si legge
C uguale A meno B.
Questa nozione di DIFFERENZA è spesso denominata anche DIFFERENZA SEMPLICE per differenziarla dalla DIFFERENZA SIMMETRICA di due insiemi.
Dimostriamo ora le proprietà della DIFFERENZA SEMPLICE di insiemi.
Se
Se A intersecato B è uguale all'insieme vuoto allora A meno B è uguale all'insieme A.
Dire che A intersecato B è uguale all'insieme vuoto significa dire che il generico elemento a o appartiene ad A, o appartiene a B o non appartiene a nessuno dei due: ma non potrà appartenere ad entrambi.
Quindi la nostra tabella di appartenenza sarà:
Come possiamo notare le due colonne evidenziate in giallo sono identiche, quindi possiamo dire che se A e B sono due insiemi disgiunti allora A - B è uguale ad A.
Allo stesso modo avremo:
Se A intersecato B è uguale all'insieme vuoto allora B meno A è uguale all'insieme B.
Dire che A intersecato B è uguale all'insieme vuoto significa dire il generico elemento a o appartiene ad A, o appartiene a B o non appartiene a nessuno dei due: ma non potrà appartenere ad entrambi.
Quindi la nostra tabella di appartenenza sarà:
Come possiamo notare le due colonne evidenziate in giallo sono identiche, quindi possiamo dire che se A e B sono due insiemi disgiunti allora B - A è uguale a B.
Se
Se B è sottoinsieme (proprio) di A allora B - A è uguale all'insieme vuoto.
Se B è un sottoinsieme proprio di A significa che, se il generico elemento a appartiene a B esso appartiene anche ad A, mentre ci saranno elementi di A che non appartengono a B.
Quindi la nostra tabella di appartenenza sarà:
Come possiamo notare B - A è l'insieme vuoto.
Infine, l'unione tra la differenza A e B e la differenza B e A è uguale alla differenza tra l' unione A e B e l'intersezione A e B.
Come possiamo notare le due colonne evidenziate in giallo sono identiche.
