PROPRIETA' DELLA DIFFERNZA DI DUE INSIEMI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Sappiamo che dati due insiemi A e B, si chiama DIFFERENZA di A e B l'insieme C degli ELEMENTI che APPARTENGONO ad A e che NON APPARTENGONO a B.

In simboli scriveremo:

C = A - B

che si legge

C uguale A meno B.



Questa nozione di DIFFERENZA è spesso denominata anche DIFFERENZA SEMPLICE per differenziarla dalla DIFFERENZA SIMMETRICA di due insiemi.

Dimostriamo ora le proprietà della DIFFERENZA SEMPLICE di insiemi.



Se

Se A intersecato B è uguale all'insieme vuoto allora A meno B è uguale all'insieme A

Se A intersecato B è uguale all'insieme vuoto allora A meno B è uguale all'insieme A.



Dire che A intersecato B è uguale all'insieme vuoto significa dire che il generico elemento a o appartiene ad A, o appartiene a B o non appartiene a nessuno dei due: ma non potrà appartenere ad entrambi.

Quindi la nostra tabella di appartenenza sarà:



Proprietà della differenza di insiemi



Come possiamo notare le due colonne evidenziate in giallo sono identiche, quindi possiamo dire che se A e B sono due insiemi disgiunti allora A - B è uguale ad A.



Allo stesso modo avremo:

Se A intersecato B è uguale all'insieme vuoto allora B meno A è uguale a B

Se A intersecato B è uguale all'insieme vuoto allora B meno A è uguale all'insieme B.



Dire che A intersecato B è uguale all'insieme vuoto significa dire il generico elemento a o appartiene ad A, o appartiene a B o non appartiene a nessuno dei due: ma non potrà appartenere ad entrambi.

Quindi la nostra tabella di appartenenza sarà:



Proprietà della differenza di insiemi



Come possiamo notare le due colonne evidenziate in giallo sono identiche, quindi possiamo dire che se A e B sono due insiemi disgiunti allora B - A è uguale a B.



Se

Se B è sottoinsieme di A allora B meno A è uguale a all'insieme vuoto

Se B è sottoinsieme (proprio) di A allora B - A è uguale all'insieme vuoto.

Se B è un sottoinsieme proprio di A significa che, se il generico elemento a appartiene a B esso appartiene anche ad A, mentre ci saranno elementi di A che non appartengono a B.

Quindi la nostra tabella di appartenenza sarà:



Proprietà della differenza di insiemi



Come possiamo notare B - A è l'insieme vuoto.



Infine, l'unione tra la differenza A e B e la differenza B e A è uguale alla differenza tra l' unione A e B e l'intersezione A e B.

Proprietà della differenza di insiemi



Proprietà della differenza di insiemi



Come possiamo notare le due colonne evidenziate in giallo sono identiche.

 
Per approfondire questo argomento, leggi:
 
 
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