FORMULE DI PROSTAFERESI PER LA TANGENTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Dopo aver visto le formule di prostaferesi per il seno e per il coseno, in questa lezione ci occuperemo delle FORMULE DI PROSTAFERESI per la TANGENTE.

Queste si ricavano usando le relazioni fondamentali della goniometria e le formule di addizione e sottrazione del seno.


Dalla SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA sappiamo che la TANGENTE di un angolo può essere scritta come il RAPPORTO tra il SENO e il COSENO dello stesso angolo.


Di conseguenza

Formule di prostaferesi per la tangente


Eseguiamo i calcoli:

Formule di prostaferesi per la tangente


Osserviamo il numeratore della frazione e ricordiamo che la FORMULA DI ADDIZIONE del SENO ci dice che:

sen (α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β


Quindi, il nostro numeratore non è altro che il SENO della somma di p + q.


Di conseguenza la nostra formula diventa:

Formule di prostaferesi per la tangente


Chiaramente dobbiamo porre come condizione che il denominatore della frazione sia diverso da zero. In altre parole è necessario porre la condizione:

cos p · cos q ≠ 0

che equivale a dire

cos p ≠ 0

e

cos q ≠ 0

Ora noi sappiamo che il coseno di un angolo è uguale a 0 quando l'angolo misura 90°, 270° e così via. Quindi, la condizione da porre sarà:

p ≠ π/2 + kπ

e

q ≠ π/2 + kπ

con   k ∈ Z



Passiamo ad esaminare la formula:

tan p - tan q

che, per quanto detto prima, possiamo scrivere nel modo seguente:

Formule di prostaferesi per la tangente


Eseguiamo i calcoli:

Formule di prostaferesi per la tangente


Osserviamo il numeratore della frazione e ricordiamo che la FORMULA DI SOTTRAZIONE del SENO ci dice che:

sen (α - β) = sen α · cos β - cos α · sen β


Quindi, il nostro numeratore non è altro che il SENO della differenza di p - q.


Di conseguenza la nostra formula diventa:

Formule di prostaferesi per la tangente


Chiaramente anche in questo caso dobbiamo porre come condizione che il denominatore della frazione sia diverso da zero. E, come abbiamo visto nella formula precedente, questo accade quando

p ≠ π/2 + kπ

e

q ≠ π/2 + kπ

con   k ∈ Z



Nella prossima lezione vedremo le formule di prostaferersi per la cotangente.

 
 
 
 
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