FORMULE DI PROSTAFERESI PER IL SENO
Si chiamano FORMULE DI PROSTAFERESI quelle formule che permettono di TRASFORMARE la SOMMA o la DIFFERENZA di una STESSA FUNZIONE GONIOMETRICA di due angoli diversi nel PRODOTTO di funzioni goniometriche.
Il termine prostaferesi deriva da due parole greche:
- prósth che significa aggiunta;
- apháiresis che significa sottrazione.
Infatti, a queste formule si giunge mediante successive somme e sottrazioni.
Iniziamo con l'occuparci delle FORMULE DI PROSTAFERESI per il SENO, cioè di quelle formule che ci permettono di trasformare l'operazione
sen α + sen β
oppure l'operazione
sen α - sen β
nel prodotto di altre funzioni goniometriche.
Cominciamo con lo scrivere la FORMULA DI ADDIZIONE del SENO:
sen (α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β
Ora scriviamo la FORMULA DI SOTTRAZIONE del SENO:
sen (α - β) = sen α · cos β - cos α · sen β
Mettiamo a sistema le due equazioni e SOMMIAMO membro a membro:
Ora andiamo a semplificare ed otteniamo:
e andiamo a sommare i termini simili:
sen (α + β) + sen (α - β) = 2 sen α · cos β
Ora poniamo:
α + β = p
e
α - β = q
E andiamo a cercare il valore di α e quello di β.
Mettiamo a sistema le due relazioni scritte:
Ricaviamo il valore di α dalla prima equazione:
α = p - β
Sostituiamo il valore trovato nella seconda equazione:
p - β - β = q
da cui otteniamo
p - 2β = q
- 2β = -p + q
2β = p - q
β = (p - q)/ 2
Sostituendo questo valore nella prima equazione, andiamo a trovare il valore di α:
α = p - β
α = p - (p - q)/ 2
ed eseguendo i calcolo otteniamo:
α = (2p - p + q)/ 2
α = (p + q)/ 2
Ora torniamo alla formula:
sen (α + β) + sen (α - β) = 2 sen α · cos β
Poiché abbiamo detto che:
α + β = p
α - β = q
α = (p + q)/ 2
β = (p - q)/ 2
andiamo a sostituire nella formula precedente ed otteniamo:
Quella che abbiamo appena scritto è la prima formula di prostaferesi per il seno, detta spesso, più semplicemente, PRIMA FORMULA DI PROSTAFERESI
Ora andiamo a cercare la seconda formula di prostaferersi del seno, quella relativa alla differenza tra il seno di due angoli diversi, ovvero:
sen α - sen β
Partiamo dalla FORMULA DI ADDIZIONE del SENO:
sen (α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β
e da quella di SOTTRAZIONE del SENO:
sen (α - β) = sen α · cos β - cos α · sen β
Mettiamo a sistema le due equazioni e, questa volta, SOTTRAIAMO membro a membro:
Ora andiamo a semplificare ed otteniamo:
e sommiamo i termini simili:
sen (α + β) - sen (α - β) = 2 cos α · sen β
Ora poniamo:
α + β = p
e
α - β = q
E andiamo a cercare il valore di α e quello di β mettendo a sistema le due equazioni scritte:
Il modo di procedere, per risolvere il sistema, è quello visto sopra, quindi non andremo a ripeterlo:
Poiché abbiamo detto che:
α + β = p
α - β = q
α = (p + q)/ 2
β = (p - q)/ 2
andiamo a sostituire nella formula precedente ed otteniamo:
Quella che abbiamo appena scritto è la seconda formula di prostaferesi relativa al seno che spesso viene chiamata più semplicemente SECONDA FORMULA DI PROSTAFERESI.
Nella prossima lezione vedremo le formule di prostaferersi del coseno.
