FORMULE DI PROSTAFERESI PER IL SENO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Si chiamano FORMULE DI PROSTAFERESI quelle formule che permettono di TRASFORMARE la SOMMA o la DIFFERENZA di una STESSA FUNZIONE GONIOMETRICA di due angoli diversi nel PRODOTTO di funzioni goniometriche.


Il termine prostaferesi deriva da due parole greche:

  • prósth che significa aggiunta;
  • apháiresis che significa sottrazione.

Infatti, a queste formule si giunge mediante successive somme e sottrazioni.


Iniziamo con l'occuparci delle FORMULE DI PROSTAFERESI per il SENO, cioè di quelle formule che ci permettono di trasformare l'operazione

sen α + sen β

oppure l'operazione

sen α - sen β

nel prodotto di altre funzioni goniometriche.



Cominciamo con lo scrivere la FORMULA DI ADDIZIONE del SENO:

sen (α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β


Ora scriviamo la FORMULA DI SOTTRAZIONE del SENO:

sen (α - β) = sen α · cos β - cos α · sen β


Mettiamo a sistema le due equazioni e SOMMIAMO membro a membro:

Formula di prostaferesi per il seno


Ora andiamo a semplificare ed otteniamo:

Formula di prostaferesi per il seno

e andiamo a sommare i termini simili:

sen (α + β) + sen (α - β) = 2 sen α · cos β


Ora poniamo:

α + β = p

e

α - β = q

E andiamo a cercare il valore di α e quello di β.


Mettiamo a sistema le due relazioni scritte:

Formula di prostaferesi per il seno

Ricaviamo il valore di α dalla prima equazione:

α = p - β

Sostituiamo il valore trovato nella seconda equazione:

p - β - β = q

da cui otteniamo

p - 2β = q

- 2β = -p + q

2β = p - q

β = (p - q)/ 2


Sostituendo questo valore nella prima equazione, andiamo a trovare il valore di α:

α = p - β

α = p - (p - q)/ 2

ed eseguendo i calcolo otteniamo:

α = (2p - p + q)/ 2

α = (p + q)/ 2



Ora torniamo alla formula:

sen (α + β) + sen (α - β) = 2 sen α · cos β


Poiché abbiamo detto che:

α + β = p

α - β = q

α = (p + q)/ 2

β = (p - q)/ 2

andiamo a sostituire nella formula precedente ed otteniamo:

Formula di prostaferesi per il seno


Quella che abbiamo appena scritto è la prima formula di prostaferesi per il seno, detta spesso, più semplicemente, PRIMA FORMULA DI PROSTAFERESI


Ora andiamo a cercare la seconda formula di prostaferersi del seno, quella relativa alla differenza tra il seno di due angoli diversi, ovvero:

sen α - sen β

Partiamo dalla FORMULA DI ADDIZIONE del SENO:

sen (α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β


e da quella di SOTTRAZIONE del SENO:

sen (α - β) = sen α · cos β - cos α · sen β


Mettiamo a sistema le due equazioni e, questa volta, SOTTRAIAMO membro a membro:

Formula di prostaferesi per il seno


Ora andiamo a semplificare ed otteniamo:

Formula di prostaferesi per il seno

e sommiamo i termini simili:

sen (α + β) - sen (α - β) = 2 cos α · sen β


Ora poniamo:

α + β = p

e

α - β = q

E andiamo a cercare il valore di α e quello di β mettendo a sistema le due equazioni scritte:

Formula di prostaferesi per il seno

Il modo di procedere, per risolvere il sistema, è quello visto sopra, quindi non andremo a ripeterlo:

Poiché abbiamo detto che:

α + β = p

α - β = q

α = (p + q)/ 2

β = (p - q)/ 2

andiamo a sostituire nella formula precedente ed otteniamo:

Formula di prostaferesi per il seno

Quella che abbiamo appena scritto è la seconda formula di prostaferesi relativa al seno che spesso viene chiamata più semplicemente SECONDA FORMULA DI PROSTAFERESI.


Nella prossima lezione vedremo le formule di prostaferersi del coseno.

 
 
 
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

Compila il questionario


SchedeDiGeografia.net
StoriaFacile.net
EconomiAziendale.net
DirittoEconomia.net
LeMieScienze.net
MarchegianiOnLine.net