FORMULE DI PROSTAFERESI PER LA COTANGENTE
Continuiamo l'esame delle FORMULE DI PROSTAFERESI parlando di quelle per la COTANGENTE.
La COTANGENTE di un angolo può essere scritta come il RAPPORTO tra il COSENO e il SENO dello stesso angolo.
Di conseguenza
Eseguiamo i calcoli:
Osserviamo il numeratore della frazione e ricordiamo che la FORMULA DI ADDIZIONE del SENO ci dice che:
sen (α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β
che cambiando l'ordine degli addenti, può essere scritto come:
sen (α + β) = cos α · sen β + cos β · sen α
Quindi, il nostro numeratore non è altro che il SENO della somma di p + q.
Di conseguenza la nostra formula diventa:
Chiaramente dobbiamo porre come condizione che il denominatore della frazione sia diverso da zero. In altre parole è necessario porre la condizione:
sen p · sen q ≠ 0
che equivale a dire
sen p ≠ 0
e
sen q ≠ 0
Ora noi sappiamo che il seno di un angolo è uguale a 0 quando l'angolo misura 0°, 180° e così via. Quindi, la condizione da porre sarà:
p ≠ kπ
e
q ≠ kπ
con k ∈ Z
Passiamo ad esaminare la formula:
cotg p - cotg q
che, per quanto detto prima, possiamo scrivere nel modo seguente:
Eseguiamo i calcoli:
Osserviamo il numeratore della frazione e ricordiamo che la FORMULA DI SOTTRAZIONE del SENO ci dice che:
sen (α - β) = sen α · cos β - cos α · sen β
Essa equivale a scrivere
sen (q - p) = sen q · cos p - cos q · sen p
che non è altro che il nostro numeratore.
Quindi, la nostra formula diventa:
Chiaramente anche in questo caso dobbiamo porre come condizione che il denominatore della frazione sia diverso da zero. E questo accade, come abbiamo visto prima, quando
p ≠ kπ
e
q ≠ kπ
con k ∈ Z
