FORMULE DI PROSTAFERESI PER LA COTANGENTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Continuiamo l'esame delle FORMULE DI PROSTAFERESI parlando di quelle per la COTANGENTE.


La COTANGENTE di un angolo può essere scritta come il RAPPORTO tra il COSENO e il SENO dello stesso angolo.


Di conseguenza

Formule di prostaferesi per la cotangente


Eseguiamo i calcoli:

Formule di prostaferesi per la cotangente


Osserviamo il numeratore della frazione e ricordiamo che la FORMULA DI ADDIZIONE del SENO ci dice che:

sen (α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β

che cambiando l'ordine degli addenti, può essere scritto come:

sen (α + β) = cos α · sen β + cos β · sen α


Quindi, il nostro numeratore non è altro che il SENO della somma di p + q.


Di conseguenza la nostra formula diventa:

Formule di prostaferesi per la cotangente


Chiaramente dobbiamo porre come condizione che il denominatore della frazione sia diverso da zero. In altre parole è necessario porre la condizione:

sen p · sen q ≠ 0

che equivale a dire

sen p ≠ 0

e

sen q ≠ 0

Ora noi sappiamo che il seno di un angolo è uguale a 0 quando l'angolo misura , 180° e così via. Quindi, la condizione da porre sarà:

p ≠ kπ

e

q ≠ kπ

con   k ∈ Z



Passiamo ad esaminare la formula:

cotg p - cotg q

che, per quanto detto prima, possiamo scrivere nel modo seguente:

Formule di prostaferesi per la tangente


Eseguiamo i calcoli:

Formule di prostaferesi per la cotangente


Osserviamo il numeratore della frazione e ricordiamo che la FORMULA DI SOTTRAZIONE del SENO ci dice che:

sen (α - β) = sen α · cos β - cos α · sen β


Essa equivale a scrivere

sen (q - p) = sen q · cos p - cos q · sen p

che non è altro che il nostro numeratore.

Quindi, la nostra formula diventa:

Formule di prostaferesi per la cotangente


Chiaramente anche in questo caso dobbiamo porre come condizione che il denominatore della frazione sia diverso da zero. E questo accade, come abbiamo visto prima, quando

p ≠ kπ

e

q ≠ kπ

con   k ∈ Z



 
 
 
 
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