FORMULE DI PROSTAFERESI PER IL COSENO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Continuiamo a parlare delle formule di prostaferesi occupandoci, in questa lezione, delle FORMULE DI PROSTAFERESI per il COSENO.



Cominciamo con lo scrivere la FORMULA DI ADDIZIONE del COSENO:

cos (α + β) = cos α · cos β - sen α · sen β


Ora scriviamo la FORMULA DI SOTTRAZIONE del COSENO:

cos (α - β) = cos α · cos β + sen α · sen β


Mettiamo a sistema le due equazioni e SOMMIAMO membro a membro:

Formula di prostaferesi per il coseno


Ora andiamo a semplificare ed otteniamo:

Formula di prostaferesi per il coseno


Sommiamo i termini simili ed abbiamo:

cos (α + β) + cos (α - β) = - 2 sen α · sen β


Ora, esattamente come abbiamo fatto per il seno, poniamo:

α + β = p

e

α - β = q

E andiamo a cercare il valore di α e quello di β.


Mettiamo a sistema le due relazioni scritte:

Formula di prostaferesi per il coseno

e ricaviamo il valore di α e di β. I passaggi sono stati già illustrati nella lezione precedente, alla quale rimandiamo:

I valori che si ottengono sono:

α = (p + q)/ 2

β = (p - q)/ 2



Ora torniamo alla formula:

cos (α + β) + cos (α - β) = -2 sen α · sen β


Poiché abbiamo detto che:

α + β = p

α - β = q

α = (p + q)/ 2

β = (p - q)/ 2

andiamo a sostituire nella formula precedente ed otteniamo:

Formula di prostaferesi per il coseno


Abbiamo così ottenuto una delle due formule di prostaferesi per il coseno che spesso viene detta anche TERZA FORMULA DI PROSTAFERESI


Ora andiamo a cercare la seconda formula di prostaferersi per il coseno, quella relativa al alla differenza tra il coseno di due angoli.

Partiamo sempre dalla FORMULA DI ADDIZIONE del COSENO:

cos (α + β) = cos α · cos β - sen α · sen β


e dalla FORMULA DI SOTTRAZIONE del COSENO:

cos (α - β) = cos α · cos β + sen α · sen β


Mettiamo a sistema le due equazioni e, questa volta, SOTTRAIAMO membro a membro:

Formula di prostaferesi per il coseno


Ora andiamo a semplificare:

Formula di prostaferesi per il coseno

e sommiamo i termini simili:

cos (α + β) - cos (α - β) = -2 sen α · sen β


Ora poniamo:

α + β = p

e

α - β = q

E andiamo a cercare il valore di α e quello di β come abbiamo già visto in precedenza:

Formula di prostaferesi per il coseno

Di conseguenza avremo che:

α + β = p

α - β = q

α = (p + q)/ 2

β = (p - q)/ 2

andiamo a sostituire nella formula precedente ed otteniamo:

Formula di prostaferesi per il coseno

Quella che abbiamo appena scritto è la seconda formula di prostaferesi per il coseno. Spesso viene detta anche QUARTA FORMULA DI PROSTAFERESI.


Nella prossima lezione vedremo le formule di prostaferersi per la tangente.

 
 
 
 
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