FORMULA DI SOTTRAZIONE DEL COSENO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Iniziamo l'esame delle FORMULE GONIOMETRICHE partendo dalle FORMULE DI SOTTRAZIONE e più precisamente dal COSENO della DIFFERENZA degli angoli α e β

cos (α - β)


Abbiamo visto in una precedente lezione che

cos (α - β) ≠ cos α - cos β

che si legge
il coseno di, alfa meno beta, è diverso dal coseno di alfa meno il coseno di beta.


Ma allora chiediamoci: "A che cosa è uguale il coseno della differenza di due angoli?"



Per capirlo iniziamo col disegnare una CIRCONFERENZA GONIOMETRICA:

Circonferenza goniometrica

Ora disegniamo l'angolo orientato BÔA di ampiezza β

Coseno della differenza di due angoli

Quindi disegniamo l'angolo orientato DÔA di ampiezza α e tale che

α > β

Coseno della differenza di due angoli

L'angolo DÔB ha, ovviamente, un'ampiezza pari ad

α - β

Coseno della differenza di due angoli

Ora ci chiediamo: "Qual è il COSENO di tale angolo?" Per capirlo andiamo a disegnare l'angolo CÔA di ampiezza α - β avente il punto estremo nell'origine degli archi A.

Coseno della differenza di due angoli

Gli angoli DÔB e CÔA hanno entrambi ampiezza α - β. Di conseguenza, l'ARCO Arco della circonferenza e l'arco Arco della circonferenza sono CONGRUENTI poiché sono corrispondenti di angoli al centro congruenti.

Coseno della differenza di due angoli

Ma se i due archi Arco della circonferenza e Arco della circonferenza sono tra loro congruenti, lo sono anche le due CORDE DB e CA che sottendono ai rispettivi archi.

Coseno della differenza di due angoli

Quindi possiamo scrivere:

DB = CA

Ora andiamo a determinare il valore di questi due segmenti: lo facciamo ricorrendo alle formule sulla DISTANZA TRA DUE PUNTI.

Iniziamo col calcolare il segmento DB. Chiamiamo:

xD l'ascissa del punto D

xB l'ascissa del punto B

yD l'ordinata del punto D

yB l'ordinata del punto B.


Quindi, possiamo scrivere che

Coseno della differenza di due angoli

Elevando tutti e due i membri al quadrato, otteniamo:

DB = (xD - xB)2 + (yD - yB)2

Ora, noi sappiamo che

xD = cos α

xB = cos β

yD = sen α

xB = sen β

Quindi possiamo scrivere che:

DB = (cos α - cos β)2 + (sen α - sen β)2.

Sviluppando, abbiamo:

cos2 α + cos2 β -2 cos α · cos β + sen2 α + sen2 β -2 sen α · sen β


Ora passiamo a calcolare il segmento CA. Chiamiamo:

xC l'ascissa del punto C

xA l'ascissa del punto A

yC l'ordinata del punto C

yA l'ordinata del punto A.

Quindi, possiamo scrivere che

Coseno della differenza di due angoli

Elevando tutti e due i membri al quadrato, otteniamo:

CA = (xC - xA)2 + (yC - yA)2

Ora, noi sappiamo che

xC = cos (α - β)

xA = 1

yC = sen (α - β)

yA = 0

Quindi possiamo scrivere che:

CA = [cos (α - β) - 1)]2 + [sen (α - β) - 0)]2

da cui otteniamo:

CA = [cos (α - β) - 1)]2 + sen2 (α - β)


Sviluppando il quadrato del binomio indicato avremo:

cos2 (α - β) + 1 - 2 cos (α - β) + sen 2 (α - β).


Ora, dato che abbiamo detto che

DB = CA

possiamo scrivere:

cos2 α + cos2 β -2 cos α · cos β + sen2 α + sen2 β -2 sen α · sen β = cos2 (α - β) + 1 - 2 cos (α - β) + sen 2 (α - β)


La PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRI ci dice che

sen2 α = 1 - cos2 α

Da cui otteniamo:

sen2 α + cos2 β = 1


Questa relazione ci è utile perché possiamo andare a sostituirla nella uguaglianza scritta prima. Infatti, se osserviamo meglio i termini scritti, notiamo che questa relazione è presente tra essi: l'abbiamo evidenziata in rosso:

cos2 α + cos2 β -2 cos α · cos β + sen2 α + sen2 β -2 sen α · sen β = cos2 (α - β) + 1 - 2 cos (α - β) + sen 2 (α - β)


A questi termini, quindi possiamo sostituire il valore 1:

1 + cos2 β -2 cos α · cos β + sen2 β -2 sen α · sen β = cos2 (α - β) + 1 - 2 cos (α - β) + sen 2 (α - β)


La relazione fondamentale è presente ancora una volta nell'uguaglianza scritta: questa volta l'abbiamo evidenziata in verde:

1 + cos2 β -2 cos α · cos β + sen2 β -2 sen α · sen β = cos2 (α - β) + 1 - 2 cos (α - β) + sen 2 (α - β)


Sostituendo abbiamo:

1 + 1 -2 cos α · cos β -2 sen α · sen β = cos2 (α - β) + 1 - 2 cos (α - β) + sen 2 (α - β)


Ed infine abbiamo ancora:

1 + 1 -2 cos α · cos β -2 sen α · sen β = cos2 (α - β) + 1 - 2 cos (α - β) + sen 2 (α - β)


Da cui otteniamo:

1 + 1 -2 cos α · cos β -2 sen α · sen β = 1 + 1 - 2 cos (α - β)


A questo punto notiamo che abbiamo, a primo membro due 1, come pure a secondo membro. Avendo lo stesso segno si possono eliminare:

1 + 1 -2 cos α · cos β -2 sen α · sen β = 1 + 1 - 2 cos (α - β)


-2 cos α · cos β -2 sen α · sen β = - 2 cos (α - β)


Tutti i termini sono divisibili per -2. Infatti:

-2 cos α · cos β -2 sen α · sen β = - 2 cos (α - β)


Quindi dividiamo per -2 e abbiamo:

cos α · cos β + sen α · sen β = cos (α - β)


Che letta da destra verso sinistra diventa:

cos (α - β) = cos α · cos β + sen α · sen β



Abbiamo così determinato quanto vale il COSENO della DIFFERENZA tra due ANGOLI: esso è pari al PRODOTTO del COSENO del primo angolo per il COSENO del secondo AUMENTATO del PRODOTTO del SENO del primo angolo per il SENO del secondo.



Nella prossima lezione andremo a vedere la formula di addizione del coseno.

 
 
 
 
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