DISEQUAZIONI LOGARITMICHE RISOLVIBILI MEDIANTE SOSTITUZIONE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Continuiamo a parlare di DISEQUAZIONI LOGARITMICHE esaminando quelle che sono risolvibili MEDIANTE SOSTITUZIONE.

Per quanto concerne la forma con la quale esse si presentano, diciamo che non sempre è la stessa. Un possibile modo in cui si presentano è

m· [loga f(x)]2 + n· loga f(x) + k ≥ 0

oppure

m· [loga f(x)]2 + n· loga f(x) + k ≤ 0.



A volte, però possono avere anche un altro aspetto: quando nella disequazione sono presenti logaritmi aventi lo STESSO ARGOMENTO potrebbe essere risolvibile con tale metodo.

Per risolverle dovremo, come sempre, porre la CONDIZIONE DI ESISTENZA, ovvero che tutti gli ARGOMENTI dei logaritmi presenti nella disequazione siano MAGGIORI DI ZERO.

Successivamente si risolverà la disequazione facendo ricorso ad un'INCOGNITA AUSILIARIA ad esempio z e ponendo

z = loga f(x).

in modo tale che l'equazione di partenza diventi:

m·z2 + n·z + k = 0.



A questo punto si tratterà di risolvere una normale disequazione di secondo grado.

Una volta ottenute le soluzioni esse andranno sostituite al posto di z in modo da ottenere i valori di x.



Come sempre, ovviamente, dovremo verificare che la soluzione ottenuta soddisfi le condizioni di esistenza: in genere lo facciamo direttamente ponendo a sistema la condizione di esistenza e la disequazione da risolvere, esattamente come abbiamo visto nelle lezioni precedenti.



Esempio 1:

Risoluzione di disequazioni logaritmiche mediante sostituzione

Cominciamo col dire che la condizione di esistenza è

x > 0.



Ora poniamo

Risoluzione di disequazioni logaritmiche mediante sostituzione

Otterremo:

z2 - z - 2 < 0.



Andiamo a risolvere:

Risoluzione di disequazioni logaritmiche mediante sostituzione

La soluzione è data da

-1 < z < 2.

Ora, scrivere

-1 < z < 2

equivale a scrivere

z > -1 ≥ ˅ z < 2.



Ma poiché

Risoluzione di disequazioni logaritmiche mediante sostituzione

la soluzione appena trovata può essere scritta come:

Risoluzione di disequazioni logaritmiche mediante sostituzione

Dunque, il sistema da risolvere è:

Risoluzione di disequazioni logaritmiche mediante sostituzione



Come possiamo notare la seconda e la terza disequazione sono rinconducibili al caso visto nella precedente lezione a cui rimandiamo per la spiegazione.

Andiamo a risolvere il sistema:

Risoluzione di disequazioni logaritmiche mediante sostituzione



Graficamente:

Risoluzione di disequazioni logaritmiche mediante sostituzione

La soluzione cercata è:

1/4 < x < 2.



Esempio 2:

Risoluzione di disequazioni logaritmiche mediante sostituzione

Qui la disequazione non si presenta nella forma che abbiamo visto in precedenza, ma essa si risolve sempre con il metodo di sostituzione.

Cominciamo con la condizione di esistenza che è

x > 0.



Ora poniamo

Risoluzione di disequazioni logaritmiche mediante sostituzione

Otterremo:

Risoluzione di disequazioni logaritmiche mediante sostituzione

Andiamo a risolvere:

Risoluzione di disequazioni logaritmiche mediante sostituzione

Numeratore:

2 - z > 0

-z > -2

z < 2.



Denominatore:

z - 1 > 0

z > 1 .



Studiamo il segno della frazione:

Risoluzione di disequazioni logaritmiche mediante sostituzione



La soluzione cercata è

1 < z < 2.

Ora, scrivere

1 < z < 2

equivale a scrivere

z > 1 ≥ ˅ z < 2.



Ma poiché

Risoluzione di disequazioni logaritmiche mediante sostituzione

la soluzione appena trovata può essere scritta come:

Risoluzione di disequazioni logaritmiche mediante sostituzione

Dunque, il sistema da risolvere è:

Risoluzione di disequazioni logaritmiche mediante sostituzione



Anche in questo caso la seconda e la terza disequazione si risolvono come abbiamo visto nella lezione precedente.

Andiamo a risolvere il sistema:

Risoluzione di disequazioni logaritmiche mediante sostituzione



Graficamente:

Risoluzione di disequazioni logaritmiche mediante sostituzione

La soluzione cercata è:

1/25 < x < 1/5.

 
 
 
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