DISEQUAZIONI LOGA CON UN LOGARITMO AD UN MEMBRO ED UNA COSTANTE ALL'ALTRO MEMBRO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Proseguiamo l'esame delle DISEQUAZIONI LOGARITMICHE parlando di quelle disequazioni nelle quali compaiono:

  • un logaritmo a primo membro;
  • una costante a secondo membro.

Esse si presentano nella forma

loga f(x) ≥ k

oppure

loga f(x) ≤ k

con

k

costante.



Come abbiamo detto più volte:

  • al posto del segno possiamo trovare anche soltanto il segno di >;
  • così come al posto del segno possiamo trovare anche soltanto il segno di <.



Come al solito, andiamo ad esaminare la prima delle due disequazioni scritte: il modo di procedere sarò lo stesso anche per la seconda disequazione.

La prima cosa da fare è porre la condizione che l'ARGOMENTO del LOGARITMO sia MAGGIORE DI ZERO. Ovvero:

f(x) > 0.



Poi notiamo che scrivere

loga f(x) ≥ k

equivale a scrivere

loga f(x) ≥ k · 1.

Noi sappiamo anche che

loga a = 1.



Quindi, nella disequazione possiamo scrivere 1 sotto forma di logaritmo, in altre parole possiamo scrivere:

loga f(x) ≥ k · loga a.



Applicando il TEOREMA della POTENZA di un LOGARITMO, la disequazione diventa:

loga f(x) ≥ loga ak.



A questo punto abbiamo ricondotto la nostra disequazione ad una forma da noi già vista, con un logaritmo a primo membro ed un logaritmo, avente la stessa base, a secondo membro.

Andremo quindi a risolvere nei modi appresi nelle precedenti lezioni.



Esempio:

log3 (4x + 8) ≥ 1.



La nostra disequazione può essere scritta nella forma

log3 (4x + 8) ≥ 1 · log3 3.

ovvero

log3 (4x + 8) ≥ log3 31

che equivale a

log3 (4x + 8) ≥ log3 3.



Scriviamo il sistema da risolvere:

Risoluzione disequazioni logaritmiche

Risolviamo e abbiamo:

Risoluzione disequazioni logaritmiche



Graficamente abbiamo:

Risoluzione disequazioni logaritmiche



Quindi la soluzione è data dalle

x ≥ -5/4.

 
 
 
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