TEROREMI SUI LOGARITMI: TEOREMA DELLA POTENZA DI UN LOGARITMO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Continuiamo ad esaminare i TEOREMI sui LOGARITMI ed occupiamoci del TEOREMA DELLA POTENZA dei LOGARITMI.



Il LOGARITMO della POTENZA di un numero positivo è uguale al PRODOTTO dell'ESPONENTE per il LOGARITMO della BASE.



In altre parole:

loga bn = n · loga b.



Vediamo perché.

Poniamo

x = loga b.



Per la definizione di logaritmo avremo che

ax = b.



Eleviamo entrambi i membri all'ennesima potenza:

(ax)n = bn.



Per le proprietà delle potenze, a primo membro possiamo scrivere:

axn = bn.

La definizione di logaritmo ci dice che se

ax = b

allora

x = loga b.

Quindi nel nostro caso

axn = bn

lo possiamo scrivere come

xn = logabn.



Noi, all'inizio di questa dimostrazione, avevamo posto

x = loga b.

Andiamo allora a sostituire ad x il logaritmo in base a di b e avremo:

loga b = loga bn.



Rispetto a come abbiamo scritto inizialmente la proprietà, abbiamo solamente invertito i membri.



Vediamo qualche esempio di applicazione del teorema della potenza.

Esempio:

log2 16 = log2 42 = 2 log2 4 = 4.



Ovviamente possiamo utilizzare il teorema della potenza in modo inverso.

Esempio:

log2 83 = 3 log2 8 =3 · 3 = 9.

 
 
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

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