DISEQUAZIONI LOGARITMICHE CON UN LOGARITMO AD UN MEMBRO E LO ZERO ALL'ALTRO MEMBRO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Proseguiamo l'esame delle DISEQUAZIONI LOGARITMICHE.

In questa lezione ci occuperemo di quelle disequazioni nelle quali compaiono:

  • un logaritmo a primo membro;
  • lo zero a secondo membro.

Esse si presentano nella forma

loga f(x) ≥ 0

oppure

loga f(x) ≤ 0.



Chiaramente:

  • al posto del segno possiamo trovare anche soltanto il segno di >;
  • così come al posto del segno possiamo trovare anche soltanto il segno di<.

Andiamo ad esaminare la prima delle due disequazioni scritte: chiaramente il modo di procedere sarò lo stesso anche nel secondo caso.

La prima considerazione da fare è che l'ARGOMENTO di un LOGARITMO deve essere necessariamente MAGGIORE DI ZERO. Quindi sicuramente dovrà essere

f(x) > 0.



La seconda considerazione da fare è che noi sappiamo che il LOGARITMO dell'UNITA' è sempre uguale a ZERO. Cioè:

loga 1 = 0.

Questo significa che noi possiamo scrivere la nostra disequazione come



loga f(x) ≥ loga 1.



Come già abbiamo visto nelle lezioni precedenti (a cui si rimanda per una spiegazione più dettagliata), a questo punto entra in gioco la base a:

  • se a > 1 andremo a risolvere la disequazione tra gli argomenti dei logaritmi avente lo STESSO VERSO;
  • se 0 < a < 1 andremo a risolvere la disequazione tra gli argomenti dei logaritmi, avente VERSO CONTRARIO a quella fra i logaritmi.

Quindi, ricapitolando:

  • se a > 1 andremo a risolvere il sistema:

    Risoluzione disequazioni logaritmiche

  • se 0 < a < 1 andremo a risolvere il sistema:

    Risoluzione disequazioni logaritmiche


Esempio:

log(1/5) (4x+2) < 0.



La nostra disequazione può essere scritta come

log(1/5) (4x+2) < log(1/5) 1.



A questo punto possiamo risolvere.

Prima di tutto bisogna porre la condizione di esistenza, ovvero che l'argomento del logaritmo sia maggiore di zero, ovvero

4x + 2 > 0.



Poi dovremo risolvere la disequazione tra gli argomenti dei logaritmi. Dato che la base è compresa tra 0 e 1 dovremo cambiare il verso della disequazione, e scriveremo:

4x + 2 < 1.



Il sistema da risolvere sarà, quindi:

Risoluzione disequazioni logaritmiche



da cui avremo:

Risoluzione disequazioni logaritmiche



Graficamente avremo:

Risoluzione disequazioni logaritmiche



La soluzione cercata è data dalle

x > 1/4.

 
 
 
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