RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI ESPONENZIALI CON POTENZE AVENTI BASI ED ESPONENTI DIVERSI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Proseguiamo nell'esame dei metodi di risoluzione delle equazioni esponenziali e andiamo a vedere cosa accade quando abbiamo un'equazione nella quale compaiono, a PRIMO e a SECONDO MEMBRO, due POTENZE aventi BASI DIVERSE ed ESPONENTI DIVERSI.

Le equazioni di cui parliamo si presentano nella forma:

a f(x) = b g(x).



In questo caso, se ci sono delle SOLUZIONI, esse sono IRRAZIONALI e si ottengono ricorrendo ai LOGARITMI ponendo

logc a f(x) = logc b g(x).



Applicando i TEOREMI sulle POTENZE dei LOGARITMI possiamo scrivere:

f (x) · logc a = g(x) · logc b.



La scelta della base del logaritmo c è soggettiva. In genere può essere conveniente porre:

  • c = a. In questo caso, avremo:

    f (x) · loga a = g(x) · logab.

    Come abbiamo visto in una precedente lezione

    loga a = 1

    di conseguenza l'equazione diventa

    f (x) = g(x) · loga b;

  • c = b. In questo caso, avremo:

    f (x) · logba = g(x) · logbb.

    e poiché

    logb b = 1

    l'equazione diventa

    f (x) · logb a = g(x);

  • c = e. In questo caso, avremo:

    f (x) · log a = g(x) · log b.



    Esempio:

    Equazioni esponenziali



    Non potendo risolvere l'equazione in nessuno dei modi visti nelle precedenti lezioni procediamo, innanzitutto, trasformando la radice quadrata in un esponente frazionario:

    Equazioni esponenziali



    A questo punto utilizziamo i logaritmi e scegliamo come base del logaritmo il numero di Nepero:

    Equazioni esponenziali



    da cui, applicando il TEOREMA delle POTENZE di LOGARITMI otteniamo:

    Equazioni esponenziali



    Eseguiamo i prodotti:

    Equazioni esponenziali



    Moltiplichiamo, primo e secondo membro, per 2:

    Equazioni esponenziali



    Portiamo a primo membro i termini contenenti la x e a secondo membro i termini noti, cambiando di segno:

    Equazioni esponenziali



    A primo membro mettiamo in evidenza la x:

    Equazioni esponenziali



    e risolviamo:

    Equazioni esponenziali


Nella prossima lezione vedremo come risolvere un ultimo tipo di equazione esponenziale.

 
 
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