RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI ESPONENZIALI CON POTENZE DELLE STESSA BASE

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Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:

• Funzione esponenziale
• Risoluzione di equazioni esponenziali
• Equazione esponenziale elementare
• Risoluzione di equazioni esponenziali con potenze aventi lo stesso esponente
• Risoluzione di equazioni esponenziali con potenze aventi basi ed esponenti diversi
• Risoluzione delle equazioni esponenziali mediante sostituzione
• Risoluzione delle equazioni esponenziali con metodo grafico

Dopo aver visto, nella lezione precedente, come si risolvono le EQUAZIONI ESPONENZIALI ELEMENTARI, in questa lezione ci occuperemo delle equazioni esponenziali nelle quali compaiono, a PRIMO e a SECONDO MEMBRO, due POTENZE aventi la STESSA BASE.

Le equazioni di cui parliamo si presentano nella forma:

a ^f(x) = a ^g(x).

Le soluzioni vanno cercate UGUAGLIANDO gli ESPONENTI. Infatti, dato che a primo e secondo membro abbiamo due potenze aventi la stessa base, affinché i valori di entrambi i membri siano uguali dovranno essere uguali anche gli esponenti. Quindi l'equazione si risolve ponendo

f(x) = g(x).

Esempio 1:

3^x+1 = 3.

Questa equazione può essere scritta nel modo seguente:

3^x+1 = 3¹.

I due membri dell'equazione sono due potenze aventi la stessa base. Quindi, sarà sufficiente eguagliare gli esponenti:

x + 1 = 1

x = 1 - 1

x = 0.

Esempio 2:

7^x+4 = 1.

Questa equazione può essere scritta nel modo seguente:

7^x+4 = 7⁰

ricordando che ogni numero elevato a zero è uguale ad 1.

I due membri dell'equazione sono due potenze aventi la stessa base. Di conseguenza andiamo ad eguagliare gli esponenti:

x + 4 = 0

x = -4.

Esempio 3:

2^x+3 - 4·2^2x-3= 0.

Iniziamo a trasformare la nostra equazione:

2^x+3 - 2²·2^2x-3= 0.

Applicando le proprietà delle potenze possiamo scrivere:

2^x+3 - 2^2+2x-3= 0

2^x+3 - 2^2x-1= 0.

Da cui otteniamo:

2^x+3 = 2^2x-1.

Abbiamo così ricondotto la nostra equazione ad un'equazione esponenziale che ha, ai due membri, due potenze aventi la stessa base. Andiamo, allora, ad eguagliare gli esponenti:

x + 3 = 2x - 1

x - 2x = -1 - 3

-x = -4

x = 4.

Continueremo, nelle prossime lezioni, ad esaminare le altre forme nelle quali si possono presentare le equazioni esponenziali.

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Indice degli argomenti su esponenziali e logaritmi

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