RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI ESPONENZIALI CON POTENZE AVENTI LO STESSO ESPONENTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Continuiamo a vedere come si risolvono le equazioni esponenziali e, in questa lezione, ci occuperemo di quelle equazioni nelle quali compaiono a PRIMO e a SECONDO MEMBRO due POTENZE aventi lo STESSO ESPONENTE.

Le equazioni di cui parliamo si presentano nella forma:

a f(x) = b f(x).



Queste equazioni si risolvono PONENDO l'ESPONENTE UGUALE a ZERO. In altre parole

f(x) = 0.



Cerchiamo di capirne il perché.

Se dividiamo primo e secondo membro della nostra equazione per b f(x) avremo:

Soluzione equazioni esponenziali

Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere:

Soluzione equazioni esponenziali

Ma una potenza con base diversa da 1, è uguale ad 1, solamente se l'esponente è uguale a zero. Per questa ragione dobbiamo porre

f(x) = 0.



Esempio 1:

64 · 2x-7 - 9 · 3x-3 = 0.



Iniziamo a trasformare la nostra equazione:

26 · 2x-7 - 32 · 3x-3 = 0.



Applichiamo le proprietà delle potenze e scriviamo:

26+x-7 - 32+x-3 = 0

2x-1 - 3x-1 = 0.



A questo punto portiamo a secondo membro -3x-1cambiando di segno

2x-1 = 3x-1

e abbiamo, a primo e secondo membro due potenze con basi diverse e lo stesso esponente. Quindi, per risolvere, dobbiamo porre

x - 1 = 0

la cui soluzione è

x = 1.



Esempio 2:

70 · 3x-3 = 35 · 2x-2.



Dividiamo, primo e secondo membro, per 35:

(70 · 3x-3)/ 35 = (35 · 2x-2)/ 35.

2 · 3x-3 = 2x-2.



Ora dividiamo primo e secondo membro per 2 ed otteniamo:

(2 · 3x-3)/ 2 = (2x-2) /2

3x-3 = (2x-2) /2.



A secondo membro applichiamo le proprietà delle potenze e scriviamo:

3x-3 = 2x-2-1

3x-3 = 2x-3.



Abbiamo così ottenuto un'equazione esponenziale nella quale, ai due membri, abbiamo potenze con basi diverse, ma lo stesso esponente. Per risolvere è sufficiente porre l'esponente pari a zero, ovvero

x - 3 = 0

x = 3.



Nelle prossime lezioni vedremo come risolvere altri tipi di equazioni esponenziali.

 
 
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

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