PROPRIETA' DEI LOGARITMI DERIVATE DALLA FORMULA DI CAMBIAMENTO DI BASI E DAI TEOREMI SUI LOGARITMI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Continuiamo a parlare delle PROPRIETA' dei LOGARITMI: in questa lezione ci occuperemo di una serie di proprietà che possono essere desunte dalla formula di cambiamento di basi e dai teoremi sui logaritmi.





I PROPRIETA'

Proprietà dei logaritmi: inversione della base



Dimostriamo questa proprietà. Partiamo da

Proprietà dei logaritmi

Applichiamo la formula del cambiamento di basi e trasformiamo il logaritmo in base 1/a in un logaritmo in base a:

Proprietà dei logaritmi



Ma

Proprietà dei logaritmi

e per il teorema della potenza di un logaritmo possiamo scrivere:

Proprietà dei logaritmi



Allo stesso modo avremo:

Proprietà dei logaritmi

Ma noi sappiamo che

loga a = 1

Quindi

Proprietà dei logaritmi



Di conseguenza

Proprietà dei logaritmi



Quindi per trasformare un logaritmo in un altro logaritmo che abbia l'INVERSO della BASE del logaritmo di partenza, occorre INVERTIRE anche l'ARGOMENTO.





II PROPRIETA'

Proprietà dei logaritmi: inversione della base



Vediamo il perché. Andiamo ad applicare la formula del cambiamento di basi e trasformiamo il logaritmo in base 1/a in un logaritmo in base a:

Proprietà dei logaritmi



Abbiamo già visto che:

Proprietà dei logaritmi

quindi

Proprietà dei logaritmi



Allo stesso modo avremo:

Proprietà dei logaritmi

Ma noi sappiamo che

loga a = 1

Quindi

Proprietà dei logaritmi



Di conseguenza

Proprietà dei logaritmi



Un altro modo per trasformare un logaritmo in un altro logaritmo che abbia l'INVERSO della BASE del logaritmo di partenza, è quello di CAMBIARE di SEGNO al logaritmo.





III PROPRIETA'

Proprietà dei logaritmi



Applichiamo la formula del cambiamento di basi e trasformiamo il logaritmo in base a in un logaritmo in base b:

Proprietà dei logaritmi



Ma dato che:

Proprietà dei logaritmi

avremo

Proprietà dei logaritmi



Quindi possiamo dire che per trasformare un logaritmo in un altro logaritmo in cui siano tra loro SCAMBIATE la BASE con l'ARGOMENTO, occorre porre il nuovo logaritmo a DENOMINATORE di una frazione al cui nominatore c'è l'unità.





IV PROPRIETA'

Proprietà dei logaritmi



Applichiamo la formula del cambiamento di basi e trasformiamo il logaritmo in base an in un logaritmo in base a:

Proprietà dei logaritmi



Applichiamo, a numeratore e a denominatore, il teorema della potenza di logaritmi e scriviamo:

Proprietà dei logaritmi



Ricordando che

Proprietà dei logaritmi



avremo:

Proprietà dei logaritmi



Quindi, se abbiamo un logaritmo in cui BASE e ARGOMENTO sono due POTENZE possiamo scrivere il logaritmo come il PRODOTTO tra, una frazione che abbia a NUMERATORE l'ESPONENTE dell'ARGOMENTO e a DENOMINATORE l'ESPONENTE della BASE, e il logaritmo di partenza privato degli esponenti.

 
 
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