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TEOREMI sui LOGARITMI: TEOREMA del RAPPORTO

 

 



Per comprendere  

 

Proseguiamo l'esame dei TEOREMI sui LOGARITMI e dopo aver esaminato il PRODOTTO di LOGARITMI, ci occuperemo del TEOREMA DEL RAPPORTO dei LOGARITMI.

 

Il LOGARITMO di un QUOZIENTE è uguale alla DIFFERENZA tra il LOGARITMO del DIVIDENDO e il LOGARITMO del DIVISORE

In altre parole:

loga (b / c) = loga b - loga c.

 

Vediamo perché.

Poniamo

x = loga b

e

y = loga c.

Per la definizione di logaritmo sappiamo che

ax = b

e

ay = c.

 

Dividiamo il primo membro della prima per il primo membro della seconda e dividiamo il secondo membro della prima per il secondo membro della seconda. Otteniamo:

ax / ay = b / c.

 

A primo membro applichiamo le proprietà delle potenze:

ax-y = b/c.

La definizione di logaritmo ci dice che se

ax = b

allora

x = loga b.

Quindi 

ax-y = b/c

lo possiamo scrivere come

x-y = loga (b/c).

 

Noi, all'inizio di questa dimostrazione, avevamo posto

x = loga b

e

y = loga c.

 

Andiamo allora a sostituire ad x-y i rispettivi valori e avremo:

loga b - loga c = loga (b/c)

 

che è esattamente la proprietà scritta all'inizio, anche se i membri sono stati invertiti.

 

Vediamo un esempio di applicazione di questa proprietà.

Esempio:

log3 (7/2) = log3 7 - log3 2 = 1,771243..- 0,630929...= 1,140314

 

Chiaramente, la proprietà del quoziente può essere usata anche in modo inverso. 

Esempio:

log7 343 - log7 49 = log7 (343/49) = 1.

 

 

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