TEOREMA SUI LOGARITMI: TEOREMA SUL PRODOTTO DI LOGARITMI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

In questa e nelle prossime lezioni esamineremo i TEOREMI sui LOGARITMI.

Iniziamo con il TEOREMA DEL PRODOTTO dei LOGARITMI.



Il LOGARITMO del PRODOTTO di due o più FATTORI POSITIVI è uguale alla SOMMA dei LOGARITMI dei singoli fattori.

In altre parole:

loga (b · c) = loga b + loga c.



Vediamo perché.

Poniamo

x = loga b

e

y.

Per la definizione di logaritmo sappiamo che

ax = b

e

ay = c.



Moltiplichiamo il primo membro della prima per il primo membro della seconda e moltiplichiamo il secondo membro della prima per il secondo membro della seconda. Otteniamo:

ax · ay = b · c.



A primo membro applichiamo le proprietà delle potenze:

ax+y = bc.

La definizione di logaritmo ci dice che se

ax = b

allora

x = loga b.

Quindi

ax+y = bc

lo possiamo scrivere come

x+y = loga (bc).



Noi, all'inizio di questa dimostrazione, avevamo posto

x = loga b

e

y = loga c.



Andiamo allora a sostituire ad x+y i rispettivi valori e avremo:

loga b + loga c = loga (bc)

che è esattamente la proprietà scritta all'inizio, anche se i membri sono stati invertiti.



La regola non vale solamente nel caso di due fattori, ma anche se il loro numero è superiore.



Vediamo un esempio di applicazione di questa proprietà.

Esempio:

log5 (25 · 125) = log5 25 + log5 125 = 2 + 3 = 5.



Abbiamo detto che la regola vale anche in presenza di più fattori.

Esempio:

log2 (8 · 4 · 16) = log2 8 + log2 4 + log2 16 = 3 + 2 + 4 = 9.



Ovviamente, la proprietà del prodotto può essere usata anche in modo inverso.

Esempio:

log2 3 + log2 4 = log2 (3 · 4) = log2 12 = 3,58496.



Nelle prossime lezioni proseguiremo l'esame dei teoremi sui logaritmi.

 
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

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